並集
假設有\(n\)個滿足全集\(U\)的性質相同的集合\(A_1,A_2,…,A_n\)，那麼他們的並集種的元素個數為：
\[\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=\sum\limits_{k=1}^n(-1)^{k+1}\left(\sum\limits_{1\leq i_1\leq…i_k\leq n}|A_{i_1}\cap…\cap A_{i_k}|\right)
\]
證明
證明此式，其實就是要證明每個元素僅出現了一次
考慮一個處於\(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\)中的元素\(x\)，他所屬\(m\)個集合\(S_1,S_2,...S_m\)，現在要統計他在並集中出現的次數。
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選取一個集合時，\(x\)在其中出現的次數為\(\dbinom{m}{1}=m\)
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選取兩個集合時，兩個集合的貢獻為兩個集合並集中\(x\)出現的次數的相反數
這樣的貢獻是就是\(-\dbinom{m}{2}\)
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選取三個集合時，根據上述方法貢獻為\(\dbinom{m}{3}\)
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繼續根據上述方法進行，當選取的集合樹\(>n\)時，\(x\)不會在並集中出現，因此沒有貢獻
則\(x\)出現的總次數為：
\[\begin{aligned}cnt=&\dbinom{m}{1}-\dbinom{m}{2}+\dbinom{m}{3}-…+(-1)^{m-1}\dbinom{m}{m}\\=&\sum\limits_{i=1}^m(-1)^{i-1}\dbinom{m}{i}\end{aligned}
\]
發現這玩意兒和二項式定理很像，試著化一化看看能不能化成二項式定理
\[\begin{aligned}cnt=&\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^{i-1}\dbinom{m}{i}\\=&-\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^i\dbinom{m}{i}\\=&\dbinom{m}{0}-\dbinom{m}{0}-\sum\limits_{i=1}^{m}(-1)^{i}\dbinom{m}{i}\end{aligned}
\]
化到這一步發現右邊兩項之和就是二項式定理的式子了，可以進一步轉化
\[=\dbinom{m}{0}-\sum\limits_{i=0}^m\dbinom{m}{i}(-1)^i1^{m-i}\\=1-(-1+1)^m\\=1
\]
所以每個在\(\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i\)中的元素都只出現了一次，合併起來就是並集的元素個數，得證
交集
用全集減去補集的並集即可得出，那麼顯然也為 補集的並集的 補集。
\[\left|\bigcap\limits_{i=1}^{n}A_i\right|=|U|-\left|\bigcup\limits_{i=1}^{n}\overline{A_i}\right|=\overline{\bigcup\limits_{i=1}^n\overline{A_i}}
\]
擴充——\(\min-\max\)容斥
給定全序集合\(S\),設\(\max\{S\}\)為\(S\)中的最大值，\(\min\{S\}\)為\(S\)中的最小值，則：
\[\begin{aligned} \max \{S\} &= \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \min \{T\}\\ \min \{S\} &= \sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|-1} \max \{T\} \end{aligned}
\]
\(\min-\max\)容斥對於期望同樣滿足，所以可以很方便地解決一些概率和期望問題
證明見https://www.cnblogs.com/butterflydew/p/10457362.html
寫在最後
寫這個的時候突然就想起來之前\(lyq\)寫的部落格：
雖然是一年前寫的，但現在仍然不朽/xl