lg容斥與反演

容斥與反演

容斥

之前從沒有搞清楚的：

容斥是一種方法，為了做到不重複計數，先算總和再去除重複的方法。

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所以我們可以計算任意具備一種性質的元素個數（並），透過計算“至少具備了某些元素的個數”（交）。

另一種形式：總數-不滿足所有性質的元素=任意滿足一種性質的元素

此時，不滿足所有性質即可表示為 \(\sum_S(-1)^{n-|S|}P(S)\) 其中 P(S) 表示滿足 S 中所有性質的個數。

• 小星星 [ZJOI2016]：

• 樸素 dp：令 \(f(i,j,S)\to\) [int:子樹i，int:i對映到j，set:子樹中的對應編號集合|的方案數]

• 考慮最佳化，尋找 dp 重複做了什麼，哪些限制會導致複雜度高，可不可以不做

• 由於我們要避免重複對映，所以要儲存子集。

• 所以考慮容斥解決這個問題

• 恰好不好滿足，就可以轉化為至少至多

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1. \(=\) 或 \(\neq\)

2. \(\min\) 或 \(\max\)

3. 至少或至多

4. 其他限制難以計算的時候

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例子：用這個把他變成別的條件！

那麼我們就希望，存在 \(f_i\)：

\[\sum_{i=0}^m{m\choose i}f_i=a_m \]

那麼可以遞推求 \(f\)，則答案：

\[ans=\sum_{i=0}{n\choose i}(n-i)!f_i \]

反演

• 本質

二項式反演

\[\begin{align} &g_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}f_i\\ \iff&f_n=\sum_{i=0}^n{n\choose i}(-1)^{n-i}g_i \end{align} \]

• 再探錯排

令 \(g_n\) 表示所有人隨便站，\(f_n\) 表示恰好 \(n\) 個人站錯的方案數。

那麼 \(g,f\) 滿足上述 \((1)\) 式。可惜我們要求 \(f_n\) 。

• 證明 （vfk）

考慮這個

\[f_n=\sum_{m=0}^n[n-m=0{n\choose m}f_m \]

正確性顯然

\[\sum_{k=0}^n(-1)^k{n\choose k}=[n=0] \]

使用二項式定理展開 \((1-1)^n\) 可得，並代入

最後一個式子後面的求和即為 \(g\)

• 其他形式

常用限制放縮方法。比起容斥，這時我們不必推導容斥係數。

• P4859已經沒有什麼好害怕的了：

放鬆限制，允許有一定重複，這樣就不錯了。

子集反演

• 高維字首和/子集和

實際上認為每一個二進位制數的位是一個維度，取值0/1，即有 n 個維度的字首和

• 一維字首和：掃一遍

• 二維字首和：先掃x再掃y

• 高維字首和：一維一維掃

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\[\begin{align} &F[S]=\sum_{T\subset S}G[T]\\ \iff&G[S]=\sum_{T\subset S}(-1)^{|S|-|T|}F[T] \end{align} \]

組合意義：若 F 是 G 的高維字首和，則 G 是 F 的高維差分。

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• kosare

• Ribbons on Tree

min-max 反演

\[\max\{S\}=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\} \]

\[\operatorname{kthmax}(S)=\sum_{T\subset S}(-1)^{|T|-k}{|T|-1\choose k-1}\min(T) \]

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• 按位或：考慮時間問題使用 \(\text{min-max}\) 容斥。將最大的時間戳變成最小的。

  只需高維字首和。

斯特林反演

\[\def\stira#1#2{\begin{bmatrix}#1\\ #2\end{bmatrix}} \def\stirb#1#2{\begin{Bmatrix}#1\\ #2\end{Bmatrix}} \]

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• 方陣

只有行列其中一個的限制很容易，考慮用這個計算答案。看作分成若干等價類，則存在Stirling 反演的式子。

• *異或圖

容斥/反演掉連通圖限制。即考慮 總共-不連通 \(\iff\) 總共-多個連通塊的

可列舉子集劃分，每個子集隨便連，這樣就有若干連通塊（大於等於子集劃分個數的方案數）。

這就是至少的意義：