集合形式
設 \(S\) 是一個有限集，\(A_1,A_2,\dots,A_n\) 是 \(S\) 的 \(n\) 個子集，則：
\(|S-\cup_{i=1}^{n}A_i|=\sum\limits_{i=0}^{n}(-1)^i\sum\limits_{1\le j_1\le j_2\le\dots\le j_i}|S\cap(\cap_{k=1}^iA_{j_k})|\)
符號形式
設 \(S\) 是一個有限集，\(a_1,a_2\dots a_n\) 是 \(n\) 中性質。
記 \(N(a_i)\) 為 \(S\) 中有 \(a_i\) 性質的元素的數量，特殊地，記 \(N(1)=|S|\)。
\(N(a_{j_1}a_{j_2}\dots a_{j_k})\) 為 \(S\) 中同時有 \(a_{j_1},a_{j_2},\dots,a_{j_k}\) 性質的元素的數量。
記 \(N(a+b)=N(a)+N(b),N(a-b)=N(a)-N(b)\)。
符號形式的優點
符號形式把容斥原理表達為代數形式。
典型例題（必會）
- 求不定方程 \(x_1+x_2+\dots+x_k=n\) 的接的數量，其中 \(x_i\) 為非負整數，且 \(l_i\le x_i\le r_i(1\le i \le k)\)。
- \(p\) 是 \(1,2,\dots,n\) 的一個排列，滿足剛好存在 \(k\) 個 \(1 \le i \le n\) 滿足 \(p_i = i\)，給定 \(n,k\)，求滿足要求的排列有多少個。