自動控制原理(考研)理論篇--第三章(線性系統的時域分析法)

導語

本博文基於自動控制原理(胡壽鬆第六版)全書，將知識點總結，便於同學們的複習，該篇屬於自動控制原理的理論篇，理論性東西較多，閱讀起來難免有點枯燥，但既然堅持了，那就把它讀完吧，因作者也是在複習考研，也是剛畢業的大學生，總結的東西難免會有所紕漏，如發現，請在評論區提醒，望共同進步，考研成功上岸！

3.1 系統時間響應的效能指標

1. 典型輸入訊號
   典型輸入訊號：指根據系統常遇到的輸入訊號形式，在數學描述上加以理想化的一些基本輸入函式。
   常用的典型輸入訊號：單位階躍函式、單位斜坡函式、單位加速度函式、單位脈衝函式、正弦函式。
   
2. 動態過程與穩態過程
   a.動態過程
   動態過程(過渡過程、瞬態過程)：指系統在典型輸入訊號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程。
   動態過程表現為衰減、發散或等幅振盪形式。動態過程提供系統穩定性，響應速度及阻尼情況等資訊。
   b.穩態過程
   穩態過程(穩態響應)：指系統在典型輸入訊號作用下，當時間$t$趨於無窮時，系統輸出量的表現方式。
   穩態過程表徵系統輸出量最終復現輸入量的程度，提供系統有關穩態誤差的資訊，用穩態效能描述。
3. 動態效能與穩態效能
   a.動態效能
   描述穩定的系統在單位階躍函式作用下，動態過程隨時間$t$的變化狀況的指標，稱為動態效能指標。
   
   上升時間$t_r$：指響應從終值$10\%$上升到終值$90\%$所需的時間；對於有振盪的系統，定義為響應從零第一次上升到終值所需的時間。上升時間越短，響應速度越快。
   峰值時間$t_p$：指響應超過其終值到達第一個峰值所需的時間。
   調節時間$t_s$：指響應到達並保持在終值$\pm 5\%或\pm 2\%$內所需的最短時間。
   超調量$\sigma \%$：指響應的最大偏離量$c(t_p)與終值c(\infty )的差與終值c(\infty )比的百分數$，即
   $$\sigma \%=\frac{c(t_p)-c(\infty )}{c(\infty )}\times 100\%$$
   $若c(t_p)<c(\infty )$，則響應無超調。
   注：常用動態效能指標：上升時間、調節時間、超調量。
   用$t_r或t_p$評價系統的響應速度；
   用$\sigma \%$評價系統的阻尼程度；
   $t_s$是同時反映響應速度和阻尼程度的綜合性指標。
   b.穩態效能
   穩態誤差是描述系統穩定效能的一種效能指標，通常在階躍函式、斜坡函式、加速度函式作用下進行測定或計算；穩態誤差是系統控制精度或抗擾動能力的一種度量。

3.2 一階系統的時域分析

一階系統對典型輸入訊號的輸出響應如下：

由上表得出：
a.單位脈衝函式與單位階躍函式的一階導數及單位斜坡函式的二階導數的等價關係，對應有單位脈衝響應與單位階躍響應的一階導數及單位斜坡響應的二階導數的等價關係；
b.系統對輸入訊號導數的響應，等於系統對該輸入訊號響應的導數；
c.系統對輸入訊號積分的響應，等於系統對該輸入訊號響應的積分，積分常數由零輸出初始條件確定。

3.3 二階系統的時域分析

1. 二階系統的數學模型
   標準形式：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   標準形式二階系統結構圖：
   
   二階系統的特徵方程及特徵根：
   $$特徵方程：s^2+2\zeta {\omega }_n+{\omega }_n^2=0$$
   $$特徵根：s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$$
   二階系統的響應時間取決於$\zeta 和{\omega }_n$兩個引數。
2. 二階系統的單位階躍響應
   二階系統的閉環極點分佈圖：
   
   根據二階系統的閉環極點分佈圖說明如下：
   a.$\zeta <0$的二階系統是不穩定的；
   b.$\zeta =0$，特徵方程有一對純虛根，$s_{1,2}=\pm j{\omega }_n$，對應與$s$平面虛軸上一對共軛極點，系統的階躍響應為等幅振盪，系統處於無阻尼情況；
   c.$0<\zeta <1$，特徵方程有一對具有負實部的共軛復根，$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm j{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}$，對應於$s$平面左半部的共軛複數極點，階躍響應為衰減振盪過程，系統處於欠阻尼情況；
   d.$\zeta =1$，特徵方程具有兩個相等的負實根，$s_{1,2}=-{\omega }_n$，對應於$s$平面負實軸上的兩個相等實極點，階躍響應非週期地趨於穩態輸出，系統處於臨界阻尼情況；
   e.$\zeta >1$，特徵方程有兩個不相等的負實根，$s_{1,2}=-\zeta {\omega }_n\pm {\omega }_n\sqrt{{\zeta }^2-1}$，對應於$s$平面負實軸上的兩個不等實極點，階躍響應也是非週期趨於穩態輸出，但響應速度比臨界阻尼情況緩慢，系統處於過阻尼情況。
3. 欠阻尼二階系統的單位階躍響應$(0<\zeta <1)$
   $令\sigma =\zeta {\omega }_n，{\omega }_d={\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}，則有：$
   $$s_{1,2}=-\sigma \pm j{\omega }_d$$
   $式中：\sigma 稱為衰減系數，{\omega }_d稱為阻尼振蕩頻率$。
   單位階躍響應為：
   $$c(t)=1-\frac{1}{\sqrt{1-{\zeta }^2}}{e}^{-\zeta {\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_{d}t+\beta )，t\ge 0$$
   $式中：\beta =\arctan (\sqrt{1-{\zeta }^2}/\zeta )，或\beta =\arccos \zeta$。
   二階系統單位階躍響應曲線如下圖所示：
   
   由上圖得出下列結論：
   a.在過阻尼和臨界阻尼響應曲線中，臨界阻尼響應具有最短的上升時間，響應速度最快；
   b.在欠阻尼$(0<\zeta <1)$響應曲線中，阻尼比越小，超調量越大，上升時間越短，通常取$\zeta =0.4～0.8$為宜，此時超調量適度，調節時間較短；
   c.若二階系統具有相同的$\zeta$和不同的${\omega }_n$，則其振盪特性相同但響應速度不同，${\omega }_n$越大，響應速度越快。
4. 欠阻尼二階系統的動態過程分析
   欠阻尼二階系統各特徵參量之間的關係如下圖所示：
   
   由上圖得到：
   a.衰減係數$\sigma$是閉環極點到虛軸之間的距離；
   b.阻尼振盪頻率${\omega }_d$是閉環極點到實軸之間的距離；
   c.自然頻率${\omega }_n$是閉環極點到座標原點之間的距離；
   d.${\omega }_n$與負實軸夾角的餘弦是阻尼比，即$\zeta =\cos \beta$。
   下面二階系統標準形式描述的無零點欠阻尼二階系統的動態效能指標計算公式：
   $$\Phi (s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   a.上升時間$t_r$計算：
   $$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}$$
   結論：
   ① 當阻尼比$\zeta$一定時，阻尼角$\beta$不變，系統的響應速度與${\omega }_n$成正比；
   ② 當阻尼振盪頻率${\omega }_d$一定時，阻尼比越小，上升時間越短。
   b.峰值時間$t_p$的計算：
   $$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}$$
   結論：
   ① 峰值時間等於阻尼振盪週期的一半；
   ② 峰值時間與閉環極點的虛部數值成反比，當阻尼比一定時，閉環極點離負實軸的距離越遠，系統的峰值時間越短。
   c.超調量$\sigma \%$的計算
   $$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%$$
   結論：
   ① 超調量$\sigma \%$僅是阻尼比$\zeta$的函式，與自然頻率${\omega }_n$無關；
   ② 阻尼比越大，超調量越小；
   ③ $\zeta =0.4～0.8$時，$\sigma \%$介於$1.5\%～25.4\%$。
   d.調節時間$t_s$的計算
   $$誤差帶\Delta =0.05，t_s=\frac{3.5}{\zeta {\omega }_n}=\frac{3.5}{\sigma }$$
   $$誤差帶\Delta =0.02，t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}=\frac{4.4}{\sigma }$$
   結論：
   ① 調節時間與閉環極點的實部數值成反比，閉環極點離虛軸越遠，系統的調節時間越短；
   ② 保持阻尼比值不變而加大自然頻率值，可以在不改變超調量情況下縮短調節時間。
   e.小結
   
5. 二階系統效能的改善
   a.比例-微分控制
   比例微分控制的二階系統如下圖所示：
   
   由上面結構圖得到比例-微分控制系統的開環傳遞函式為：
   $$G(s)=\frac{C(s)}{E(s)}=\frac{K(T_{d}s+1)}{s(s/2\zeta {\omega }_n+1)}$$
   $式中：K={\omega }_n/2\zeta ，稱為開環增益$。
   $令z=1/T_d，則閉環傳遞函數為$
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{z}(\frac{s+z}{s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2})$$
   $式中：{\zeta }_d=\zeta +\frac{{\omega }_n}{2z}$
   結論：
   ① 比例-微分控制不改變系統的自然頻率，但可以增大系統的阻尼比；
   ② PD控制相當於給系統增加了一個閉環零點，$-z=-1/T_d$，比例-微分控制的二階系統稱為有零點二階系統，比例控制的二階系統稱為無零點的二階系統。
   輸入為單位階躍函式時，且${\zeta }_d<1$，單位階躍響應為：
   $$c(t)=1+r{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_{n}t}\sin ({\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}t+\phi )$$
   $式中：r=\sqrt{z^2-2{\zeta }_d{\omega }_{n}z+{\omega }_n^2}/z\sqrt{1-{\zeta }_d^2}$
   $\phi =-\pi +\arctan [{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/(z-{\zeta }_d{\omega }_n)]+\arctan (\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/{\zeta }_d)$
   幾個重要效能指標計算公式如下：
   ① 峰值時間$t_p$
   $$\begin{gathered} t_p=\frac{{\beta }_d-\phi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}} \\ 式中：{\beta }_d=\arctan (\sqrt{1-{\zeta }_d^2}/{\zeta }_d) \end{gathered}$$
   ② 超調量$\sigma \%$
   $$\sigma \%=r\sqrt{1-{\zeta }_d^2}{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_n{t}_p}\times 100\%$$
   ③ 調節時間$t_s$
   $$t_s=\frac{3+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}，(\Delta =0.05)；$$
   $$t_s=\frac{4+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}，(\Delta =0.02)；$$
   比例-微分控制對系統效能影響小結：
   ① 比例-微分控制可以增大系統的阻尼，使階躍響應的超調量下降，調節時間縮短，且不影響常值穩態誤差及系統的自然頻率；
   ② 微分器對於噪聲，特別是對於高頻噪聲的放大作用，遠大於對緩慢變化輸入訊號的放大作用，因此，在系統輸入端噪聲較強的情況下，不宜採用比例-微分控制方式。
   b.測速反饋控制
   測速反饋控制的二階系統如下圖所示：
   
   由上面結構圖得到測速反饋控制系統的開環傳遞函式為：
   $$G(s)=\frac{{\omega }_n}{2\zeta +K_t{\omega }_n}\bullet \frac{1}{s[s/(2\zeta {\omega }_n+K_t{\omega }_n^2)+1]}$$
   式中開環增益為：
   $$K=\frac{{\omega }_n}{2\zeta +K_t{\omega }_n}$$
   相應閉環傳遞函式為：
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2{\zeta }_t{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   式中：
   $${\zeta }_t=\zeta +\frac{1}{2}{K}_t{\omega }_n$$
   結論：
   ① 測速反饋與比例-微分控制不同的是，測速反饋會降低系統的開環增益，從而加大系統在斜坡輸入時的穩態誤差；
   ② 相同的是，同樣不影響系統的自然頻率，並且可以增大系統的阻尼比。
   c.比例-微分控制與測速反饋控制的比較
   ① 附加阻尼來源：比例-微分控制的阻尼作用產生於系統的輸入端誤差訊號的速度，測速反饋控制的阻尼作用來源於系統輸出端響應的速度；(從結構框圖中看)
   ② 使用環境：比例-微分控制對噪聲有明顯的放大作用，當系統輸入端噪聲嚴重時，一般不宜選用比例-微分控制。微分器的輸入訊號為系統誤差訊號，其能量水平低，需要相當大的放大作用，為了不明顯惡化訊雜比，要求選用高質量放大器；測速反饋控制對系統輸入端噪聲有濾波作用，測速發電機的輸入訊號能量較高，因此對系統組成元件沒有過高的質量要求；
   ③ 對開環增益和自然頻率的影響：比例-微分控制對系統的開環增益和自然頻率均無影響；測速反饋控制不影響自然頻率，但會降低開環增益；
   ④ 對動態效能的影響：比例-微分控制相當於在系統中加入實零點，可以加快上升時間。在相同阻尼比條件下，比例-微分控制系統的超調量會大於測速反饋控制系統的超調量。

3.4 高階系統的時域分析

1. 高階系統閉環主導極點及其動態效能分析
   如果在所有閉環極點中，距離虛軸最近的極點周圍沒有閉環零點，而其他閉環極點又遠離虛軸，那麼距離虛軸最近的閉環極點所對應的響應分量，隨時間的推移衰減緩慢，在系統的時間響應過程中起主導作用，這樣的閉環極點稱為閉環極點。
2. 用二階系統效能對高階系統進行近似時非主導閉環極點對系統動態效能的影響
   a.閉環零點的影響
   減小峰值時間，使系統響應速度加快，超調量$\sigma \%$增大；閉環零點會減小系統阻尼，並且這種作用隨閉環零點接近虛軸而加劇；
   b.閉環非主導極點影響
   增大峰值時間，使系統響應速度變緩，但可以使超調量$\sigma \%$減小；閉環非主導極點可以增大系統阻尼，並且這種作用隨閉環極點接近虛軸而加劇；
   c.若閉環零、極點彼此接近，則它們對系統響應速度的影響會相互削弱。

3.5 線性系統的穩定性分析

1. 穩定性的基本概念
   穩定性：系統在擾動消失後，由初始偏差狀態恢復到原平衡狀態的效能。
   大範圍穩定系統：假設系統具有一個平衡工作狀態，如果系統受到有界擾動作用偏離了原平衡狀態，不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消後，系統都能以足夠的準確度恢復到初始平衡狀態，這種系統稱為大範圍穩定系統。
   小範圍穩定系統：假設系統具有一個平衡工作狀態，如果系統受到有界擾動作用後，只有當擾動引起的初始偏差小於某一範圍時，系統才能在取消擾動後恢復到初始平衡狀態，否則就不能恢復到初始平衡狀態，這樣的系統稱為小範圍穩定系統。
   線性控制系統的穩定性：若線性控制系統在初始擾動的影響下，其動態過程隨時間的推移逐漸衰減並趨於零，則稱系統漸近穩定；若在初始擾動影響下，系統的動態過程隨時間的推移而發散，則稱系統不穩定。
2. 線性系統穩定的充分必要條件
   線性系統穩定的充分必要條件：閉環系統特徵方程的所有根均具有負實部；或者，閉環傳遞函式的極點均位於s左半平面。
3. 勞斯-赫爾維茨穩定判據
   a.赫爾維茨穩定判據
   設線性系統特徵方程為：
   $$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0，a_0>0$$
   則使線性系統穩定的必要條件：在上特徵方程中各項係數為正數。
   對於$n\le 4$的線性系統，其穩定的充分必要條件可以表示為：
   $n=2：特徵方程各項系數為正$；
   $n=3：特徵方程各項系數為正，且a_1{a}_2-a_0{a}_3>0$；
   $n=4：特徵方程各項系數為正，且{\Delta }_2=a_1{a}_2-a_0{a}_2>0，以及{\Delta }_2>a_1^2{a}_4/a_3$。
   b.勞斯穩定判據
   設線性系統特徵方程為：
   $$D(s)=a_0{s}^n+a_1{s}^{n-1}+\cdots +a_{n-1}s+a_n=0，a_0>0$$
   根據特徵方程，列出勞斯表：
   
   勞斯判據：勞斯表中第一列各值為正，線性系統穩定；如果勞斯表第一列出現小於零的數值，系統不穩定，且第一列各系數符號的改變次數，代表特徵方程的正實部根的數目。
4. 勞斯穩定判據的特殊情況
   a.勞斯表中某行的第一列項為零，其它各項不為零，或不全為零
   解決方案：用因子(s+a)乘以原特徵方程，其中a為任意正數，再對新的特徵方程應用勞斯穩定判據。
   b.勞斯表中出現全零行
   解決方案：勞斯表出現全零行時，可用全零行上面一行的係數構造一個輔助方程$F(s)=0$，並將輔助方程對復變數s求導，用所得導數方程的係數取代全零行的元，然後按勞斯穩定判據的要求繼續運算，直到得出完整的勞斯表。
5. 勞斯穩定判據的應用
   a.用來判斷系統的穩定性；
   b.確定使系統穩定的引數範圍；
   c.判斷系統是否在給定的穩定度中
   敘述：在$s$左半平面上作一條$s=-a$的垂線，$a$是系統特徵根位置與虛軸之間的最小給定距離，稱為給定穩定度，然後用新變數$s_1=s+a$代入原系統特徵方程，得到一個以$s_1$為變數的新特徵方程，對新特徵方程應用勞斯穩定判據，可以判別系統的特徵根是否全部位於$s=-a$垂線之左。

3.6 線性系統的穩態誤差計算

控制系統的穩態誤差，是系統控制準確度(控制精度)的一種度量，稱為穩態效能；
在階躍函式作用下，沒有原理性穩態誤差的系統，稱為無差系統；把具有原理性穩態誤差的系統，稱為有差系統。

1. 誤差與穩態誤差
   設控制系統結構圖如下圖所示：
   
   當輸入訊號$R(s)$與主反饋訊號$B(s)$不相等時，比較裝置的輸出為：
   $$E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
   通常稱$E(s)$為誤差訊號(誤差)；
   誤差定義方法：
   ① 如上式，即在系統輸入端定義誤差；
   ② 從系統輸出端定義，定義為系統輸出量的希望值與實際值之差。
   誤差時域表示式為：
   $$e(t)=L^{-1}[E(s)]=L^{-1}[{\Phi }_e(s)R(s)]$$
   $式中：{\Phi }_e(s)為系統誤差傳遞函數$
   $${\Phi }_e(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{1}{1+G(s)H(s)}$$
   $誤差信號e(t)中，包含瞬態分量e_{ts}和穩態分量e_{ss}兩部分；控制系統的穩態誤差定義為誤差信號e(t)的穩態分量e_{ss}(\infty )，常以e_{ss}簡單標志$。
   如果有理函式$sE(s)$除在原點處有唯一極點外，在$s$右半平面及虛軸上解析，即$sE(s)$的極點均位於$s$左半平面(包括座標原點)，可根據拉氏變換的終值定理，求穩態誤差：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)=\underset{s\to 0}{\lim }\frac{sR(s)}{1+G(s)H(s)}$$
2. 系統型別
   一般情況下，分子階次為$m$，分母階次為$n$的開環傳遞函式表示為：
   $$G(s)H(s)=\frac{K{\prod }_{i=1}^m({\tau }_{i}s+1)}{s^{\nu }{\prod }_{j=1}^{n-\nu }(T_{j}s+1)}$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ K為開環增益；{\tau }_i和T_j為時間常數； \\ \nu 為開環系統在s平面坐標原點上的極點重數 \end{gathered}$$。
   $$\begin{gathered} 按\nu 的數值劃分系統類型，如下： \\ \nu =0稱為0型系統； \\ \nu =1稱為Ⅰ型系統； \\ \nu =2稱為Ⅱ型系統。 \end{gathered}$$
   系統穩態誤差計算通式可表示為：
   $$e_{ss}(\infty )=\frac{{\lim }_{s\to 0}[s^{\nu +1}R(s)]}{K+{\lim }_{s\to 0}{s}^{\nu }}$$
   結論：影響穩態誤差的因素有系統型別，開環增益，輸入訊號的形式和幅值。
3. 典型輸入作用下的穩態誤差與靜態誤差係數
   
   
4. 減小或消除穩態誤差的措施
   a.增大系統開環增益或擾動作用點之前系統的前向通道增益；
   b.在系統的前向通道或主反饋通道設定串聯積分環節(提高型別)；
   c.採用串級控制抑制內迴路擾動；
   d.採用複合控制方法。
   複合控制方法敘述：複合控制是在反饋控制迴路中加入前饋通路，組成一個前饋控制與反饋相結合的系統，只要系統引數選擇合適，不但可以保持系統穩定，極大地減小乃至消除穩態誤差，而且可以抑制幾乎所有的可量測擾動，其中包括低頻強擾動。

3.7 控制系統時域設計

工程例項1：海底隧道鑽機控制系統
背景敘述：連線法國和英國的英吉利海峽海底隧道於1987年12月開工建設，1990年11月，從兩個國家分頭開鑽的隧道首次對接成功。隧道長37.82km，位於海底面以下61m。隧道於1992年完工，共耗資14億美元，每天能通過50輛列車，從倫敦到巴黎的火車行車時間縮短為3h。鑽機在推進過程中，為了保證必要的隧道對接精度，施工中使用了一個鐳射導引系統，以保持鑽機的直線方向。
問題提出：鑽機控制系統如下圖(a)，圖中，$C(s)$為鑽機向前的實際角度，$R(s)$為預期角度，$N(s)$為負載對機器的影響。該系統設計目的是選擇增益$K$，使系統對輸入角度的響應滿足工程要求，並且使擾動引起的穩態誤差較小。

解：
該鑽機控制系統採用了比例-微分(PD)控制。應用梅森增益公式，可得到系統在$R(s)$和$N(s)$同時作用下的輸出為：
$$C(s)=\frac{K+11s}{s^2+12s+K}R(s)-\frac{1}{s^2+12s+K}N(s)$$
閉環系統特徵方程為：
$$s^2+12s+K=0$$
因此，只要選擇$K>0$，閉環系統一定穩定。
系統在擾動$N(s)$作用下的閉環傳遞函式為：
$${\Phi }_n(s)=\frac{C_n(s)}{N(s)}=-\frac{1}{s^2+12s+K}$$
$令N(s)=\frac{1}{s}，可得單位階躍擾動作用下系統的穩態輸出$：
$$c_n(\infty )=\underset{s\to 0}{\lim }s{\Phi }_n(s)N(s)=-\frac{1}{K}$$
$若選K>10，則|c_n(\infty )<0.1|，可以減小擾動的影響。因此，從系統穩態性能考慮，取K>10為宜$。
為了選擇適當的$K$值，需要分析比例-微分控制的作用，如果僅選用比例控制，則系統的開環傳遞函式為：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K}{s(s+1)}$$
相應的閉環傳遞函式為：
$$\Phi (s)=\frac{K}{s^2+s+K}=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
可得系統無阻尼自然頻率與阻尼比分別為：
$${\omega }_n=\sqrt{K}，\zeta =\frac{1}{2\sqrt{K}}$$
如果選用PD控制，系統的開環傳遞函式為：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K+11s}{s(s+1)}=\frac{K(T_{d}s+1)}{s(s/2{\zeta }_d{\omega }_n+1)}$$
$式中：T_d=\frac{11}{K}；2{\zeta }_d{\omega }_n=1$
相應閉環傳遞函式為：
$$\Phi (s)=\frac{K+11s}{s^2+12s+K}=\frac{{\omega }_n^2}{z}(\frac{s+z}{s^2+2{\zeta }_d{\omega }_{n}s+{\omega }_n^2})$$
$式中：z=\frac{1}{T_d}=\frac{K}{11}為閉環零點$
$${\omega }_n=\sqrt{K}，{\zeta }_d=\zeta +\frac{{\omega }_n}{2z}=\frac{12}{2\sqrt{K}}$$
上式表明引入微分控制可以增大系統阻尼，改善系統動態效能。
a.$取K=100，則{\omega }_n=10，e_{ssn}(\infty )=-0.01$
P控制時：
$$\zeta =\frac{1}{2{\omega }_n}=0.05$$
動態效能：
$$\sigma \%=e^{-\pi \zeta /\sqrt{1-{\zeta }^2}}\times 100\%=85.4\%$$
$$t_r=\frac{\pi -\beta }{{\omega }_d}=\frac{\pi -\arccos \zeta }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }^2}}=0.162s$$
$$t_p=\frac{\pi }{{\omega }_d}=0.314s，t_s=\frac{4.4}{\zeta {\omega }_n}=8.8s(\Delta =2\%)$$
PD控制時：
$${\zeta }_d=0.6，z=\frac{K}{11}=9.09$$
$$r=\frac{\sqrt{z^2-2{\zeta }_d{\omega }_{n}z+{\omega }_n^2}}{z\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=1.18，{\beta }_d=\arctan (\frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d})=53.13°$$
$$\phi =-\pi +\arctan [\frac{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{z-{\zeta }_d{\omega }_n}]+\arctan [\frac{\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}{{\zeta }_d}]=-58°$$
動態效能：
$$t_r=\frac{0.9}{{\omega }_n}=0.09s，t_p=\frac{{\beta }_d-\phi }{{\omega }_n\sqrt{1-{\zeta }_d^2}}=0.24s$$
$$t_s=\frac{4.0+\ln r}{{\zeta }_d{\omega }_n}=0.52s(\Delta =2\%)$$
$$\sigma \%=r\sqrt{1-{\zeta }_d^2}{e}^{-{\zeta }_d{\omega }_n{t}_p}\times 100\%=22.4\%$$
$Matlab仿真曲線如下，其中\sigma \%=22\%，t_s=0.66s$。

b.$取K=20，則{\omega }_n=4.47，e_{ssn}(\infty )=-0.05$
P控制時：
$$\zeta =\frac{1}{2{\omega }_n}=0.11$$
動態效能：
$$\begin{gathered} \sigma \%=70.6\%，t_r=0.38s \\ {t}_p=0.71s，t_s=8.95s(\Delta =2\%) \end{gathered}$$
動態效能仍然很差。
PD控制時：
$${\zeta }_d=1.34$$
且有$z=1.82$，閉環傳遞函式為：
$$\Phi (s)=\frac{11(s+1.82)}{(s+2)(s+10)}$$
系統此時為有零點的過阻尼二階系統，令$R(s)=\frac{1}{s}$，則系統的輸出為：
$$C(s)=\Phi (s)R(s)=\frac{11(s+1.82)}{s(s+2)(s+10)}=\frac{1}{s}+\frac{0.125}{s+2}-\frac{1.125}{s+10}$$
系統的單位階躍響應為：
$$c(t)=1+0.125e^{-2t}-1.125e^{-10t}$$
求得：
$$t_p=0.5s，\sigma \%=3.8\%，t_s=1.0s(\Delta =2\%)$$
其中超調量是由閉環零點引起的。
$Matlab仿真曲線如下圖所示：其中，t_p=0.476s，\sigma \%=3.86\%，t_s=0.913s。$

由圖可知，系統響應的超調量較小，擾動影響不大，其動態效能可以滿足工程要求。

$由上表可見，應取K=20$。
$附：Matlab仿真代碼$

K=[100 20];
for i =1:1:2
    sys=tf([11 K(i)],[1 12 K(i)]);  %輸入作用下系統閉環傳遞函式
    sysn=tf([-1],[1 12 K(i)]);      %擾動作用下系統閉環傳遞函式
    figure(i);t=0:0.002:3;
    step(sys,t);hold on;            %單位階躍輸入響應
    step(sysn,t);grid               %單位階躍擾動響應
end