自動控制原理(考研)理論篇--第七章(線性離散系統的分析與校正)

導語

本博文基於自動控制原理(胡壽鬆第六版)全書，將知識點總結，便於同學們的複習，該篇屬於自動控制原理的理論篇，理論性東西較多，閱讀起來難免有點枯燥，但既然堅持了，那就把它讀完吧，因作者也是在複習考研，也是剛畢業的大學生，總結的東西難免會有所紕漏，如發現，請在評論區提醒，望共同進步，考研成功上岸！

7.1 離散系統的基本概念

1. 基本概念
   a.這些訊號在全部時間上都是已知的，則這樣的系統稱為連續時間系統，簡稱連續系統；
   b.如果控制系統中有一處或幾處訊號是一串脈衝或數碼，這樣的系統稱為離散時間系統，簡稱離散系統；
   c.把系統中的離散訊號是脈衝序列形式的離散系統，稱為取樣控制系統或脈衝控制系統；把數字序列形式的離散系統，稱為數字控制系統或計算機控制系統。
2. 取樣控制系統
   取樣系統是對來自感測器的連續資訊在某些規定的時間瞬時上取值；
   如果在有規律的間隔上，系統取到了離散資訊，則這種取樣稱為週期取樣；
   如果資訊之間的間隔是時變的，或隨機的，則稱為非週期取樣，或隨機取樣。
   測量元件、執行元件和被控物件是模擬元件，其輸入輸出是連續訊號，即時間上和幅值上都連續的訊號，稱為模擬訊號；控制器中的脈衝元件，其輸入和輸出為脈衝序列，即時間上離散而幅值上連續的訊號，稱為離散模擬訊號。
   a.訊號取樣和復現
   取樣：在取樣控制系統中，把連續訊號轉變為脈衝序列的過程稱為取樣過程，簡稱取樣；
   實現取樣的裝置稱為取樣器，或取樣開關。$用T表示採樣周期，單位為s；f_s=1/T表示採樣頻率，單位為s^{-1}；{\omega }_s=2\pi f_s=2\pi /T表示採樣角頻率，單位為rad/s$。
   在取樣系統中，把脈衝序列轉變為連續訊號的過程稱為訊號復現過程，實現復現過程的裝置稱為保持器。
   b.取樣系統的典型結構圖
   如果取樣器位於系統閉環迴路之外，或系統本身不存在閉合迴路，則稱為開環取樣系統；
   如果取樣器位於系統閉合迴路之內，則稱為閉環取樣系統。
   
   $$\begin{gathered} 圖中： \\ {G}_h(s)為保持器的傳遞函數； \\ {G}_0(s)為被控對象的傳遞函數； \\ H(s)為測量變送反饋元件的傳遞函數。 \end{gathered}$$
3. 數字控制系統
   數字控制系統是一種以數字計算機為控制器去控制具有連續工作狀態的被控物件的閉環控制系統，數字控制系統包括工作於離散狀態下的數字計算機和工作於連續狀態下的被控物件兩大部分。
   計算機控制系統的典型原理圖如下圖：
   
   a.A/D轉換器
   A/D轉換器是把連續的模擬訊號轉換為離散數字訊號的裝置，A/D轉換包括：取樣過程和量化過程。
   b.D/A轉換器
   D/A轉換器是把離散的數字訊號轉換為連續模擬訊號的裝置，D/A轉換包括：解碼過程和復現過程；
   解碼過程：把離散數字訊號轉換為離散的模擬訊號；
   復現過程：因為離散的模擬訊號無法直接控制連續的被控物件，需要經過保持器將離散模擬訊號復現為連續的模擬訊號。
   數字控制系統典型結構圖如下：
   

7.2 訊號的取樣與保持

1. 取樣過程
   把連續訊號變換為脈衝序列的裝置稱為取樣器，又稱為取樣開關；
   $$e^{\ast }(t)=e(t){\delta }_T(t)$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ {e}^{\ast }(t)為理想採樣器的輸出信號； \\ e(t)為輸入連續信號； \\ {\delta }_T(t)為載波信號。 \end{gathered}$$
   $理想脈衝序列{\delta }_T可以表示為$：
   $${\delta }_T(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$
   $式中：\delta (t-nT)是出現在時刻t=nT、強度為1的單位脈衝$；
   因此：
   $$e^{\ast }(t)=e(t)\sum _{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$$
   由於$e(t)$的數值在取樣瞬時才有意義，因此：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)$$
2. 取樣過程的數學描述
   a.取樣訊號的拉氏變換
   $$E^{\ast }(s)=z[e^{\ast }(t)]=z[\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)]$$
   因此，取樣訊號的拉氏變換為：
   $$E^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)e^{-nTs}$$
3. 夏農取樣定理
   $香農採樣定理指出：如果採樣器的輸入信號e(t)具有有限帶寬，並且有直到{\omega }_h的頻率分量，則使信號e(t)圓滿地從採樣信號e^{\ast }(t)中恢復過來的採樣周期T，滿足條件：$
   $$T\le \frac{2\pi }{2{\omega }_h}，等價於：{\omega }_s\ge 2{\omega }_h$$
4. 取樣週期的選取
   
5. 訊號保持
   a.保持器的數學描述
   在取樣時刻上，連續訊號的函式值與脈衝序列的脈衝強度相等，在nT時刻，有：
   $$e(t){|}_{t=nT}=e(nT)=e^{\ast }(nT)$$
   在(n+1)T時刻，有：
   $$e(t){|}_{t=(n+1)T}=e[(n+1)T]=e^{\ast }[(n+1)T]$$
   保持器是具有外推功能的元件，保持器的外推作用，表現為現在時刻的輸出訊號取決於時刻離散訊號的外推，用如下多項式外推公式描述保持器：
   $$e(nT+\Delta t)=a_0+a_1\Delta t+a_2(\Delta t{)}^2+\cdots +a_m(\Delta t{)}^m$$
   $式中：\Delta t是以nT時刻為原點的坐標。$
   $上式表示：現在時刻的輸出e(nT+\Delta t)的值，取決於\Delta t=0，-T，-2T，\dots ，-mT各過去時刻的離散信號e^{\ast }(nT)，e^{\ast }[(n-1)T]，e^{\ast }[(n-2)T]，\dots ，e^{\ast }[(n-m)T]的(m+1)個值。這樣的保持器稱為m階保持器。若取m=0，則稱為零階保持器；m=1，稱為一階保持器。$
   b.零階保持器
   零階保持器的外推公式為：
   $$e(nT+\Delta t)=a_0$$
   零階保持器的數學表示式為：
   $$e(nT+\Delta t)=e(nT)，0\le \Delta t<T$$
   $上式說明：零階保持器是一種按常值外推的保持器，它把前一採樣時刻nT的採樣值e(nT)一直保持到下一採樣時刻(n+1)T到來之前，從而使採樣信號e^{\ast }(t)變成階梯信號e_h(t)$。
   零階保持器的傳遞函式：
   $$G_h(s)=\frac{1-e^{-Ts}}{s}$$
   零階保持器特性：
   ① 低通特性。由於幅頻特性的幅值隨頻率值的增大而迅速衰減，說明零階保持器基本上是一個低通濾波器；
   ② 相角滯後特性。由相頻特性可見，零階保持器要產生相角滯後，且隨$\omega$的增大而加大，在$\omega ={\omega }_s$處，相角滯後可達-180°，從而使閉環系統的穩定性變差；
   ③ 時間滯後特性。零階保持器的輸出為階梯訊號$e_h(t)$，其平均響應為$e[t-(T/2)]$，表明其輸出比輸入在時間上要滯後$T/2$，相當於給系統增加了一個延遲時間為$T/2$的延遲環節，使系統總的相角滯後增大，對系統的穩定性不利；此外，零階保持器的階梯輸出同時增加了系統輸出中的紋波。

7.3 z變換理論

1. $z變換定義$
   取樣訊號$e^{\ast }(t)$，表示式為：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)\delta (t-nT)$$
   取樣訊號的拉氏變換：
   $$E^{\ast }(s)=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)e^{-nsT}$$
   $令變量z=e^{sT}，其中T為採樣周期，z是復數平面上定義的一個復變量，通常稱為z變換算子。$
   則取樣訊號的$z$變換定義為：
   $$E(z)=E^{\ast }(s){|}_{s=\frac{1}{T}lnz}=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)z^{-n}$$
   記為：
   $$E(z)=z[e^{\ast }(t)]=z[e(t)]$$
2. $z變換方法$
   a.級數求和法
   級數求和法是直接根據$z$變換的定義，將下式：
   $$E(z)=E^{\ast }(s){|}_{s=\frac{1}{T}lnz}=\sum _{n=0}^{\infty }e(nT)z^{-n}$$
   寫成展開形式：
   $$E(z)=e(0)+e(T)z^{-1}+e(2T)z^{-2}+\cdots +e(nT)z^{-n}+\dots$$
   b.部分分式法
   先求出已知連續時間函式$e(t)$的拉氏變換$E(s)$，然後將有理分式函式$E(s)$展開成部分分式之和的形式，使每一部分分式對應簡單的時間函式，其相應的$z$變換是已知的，於是可方便地求出$E(s)$對應的$z$變換$E(s)$。
   
3. $z變換性質$
   a.線性定理
   $若E_1(z)=z[e_1(t)，E_2(z)=z[e_2(t)]，a為常數，則有：$
   $$z[e_1(t)\pm e_2(t)]=E_1(z)\pm E_2(z)，z[ae(t)]=aE(z)，其中：E(z)=z[e(t)]$$
   b.實數位移定理
   實數位移定理含意：指整個取樣序列在時間軸上左右平移，其中向左平移為超前，向右平移為滯後。如果函式$e(t)$是可拉氏變換的，其$z$變換為$E(z)$，則有
   滯後定理：
   $$z[e(t-kT)]=z^{-k}E(z)$$
   $其中：z^{-k}代表時域中的滯後環節，將採樣信號滯後k個採樣周期$。
   超前定理：
   $$z[e(t+kT)]=z^k[E(z)-\sum _{n=0}^{k-1}e(nT)z^{-n}]$$
   $其中：z^k代表時域中超前環節，它把採樣信號超前k個採樣周期$。
   c.複數位移定理
   如果函式$e(t)$是可拉氏變換的，其$z$變換為$E(z)$，則有：
   $$z[e^{\mp at}e(t)]=E(z{e}^{\pm aT})$$
   複數位移定理含意：函式$e^{\ast }(t)$乘以指數序列$e^{\mp ant}$的$z$變換就等於在$e^{\ast }(t)$的$z$變換表示式$E(z)$中，以$z{e}^{\pm aT}$取代原運算元$z$。
   d.終值定理
   $如果函數e(t)的z變換為E(z)，函數序列e(nT)為有限值(n=0,1,2,\dots )，且極限{\lim }_{n\to \infty }e(nT)存在，則函數序列的終值為$：
   $$\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(z-1)E(z)$$
   或者
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{n\to \infty }{\lim }e(nT)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)$$
   e.卷積定理
   $設x(nT)和y(nT)為兩個採樣函數，其離散卷積定義為$：
   $$x(nT)\ast y(nT)=\sum _{k=0}^{\infty }x(kT)y[(n-k)T]$$
   由卷積定理，若：
   $$g(nT)=x(nT)\ast y(nT)$$
   必有：
   $$G(z)=X(z)\cdot Y(z)$$
   卷積定理指出：兩個取樣函式卷積的$z$變換，就等於該兩個取樣函式相應$z$變換的乘積。
4. $z反變換$
   $z反變換：已知z變換表達式E(z)，求相應離散序列e(nT)的過程，記為：$
   $$e(nT)=z^{-1}[E(z)]$$
   a.部分分式法(查表法)
   $設已知的z變換函數E(z)無重極點，先求出E(z)的極點z_1,z_2,\dots ,z_n，再將E(z)/展開成如下部分分式之和$：
   $$\frac{E(z)}{z}=\sum _{i=1}^n\frac{A_i}{z-z_i}$$
   $其中：A_i為E(z)/z在極點z_i處的留數，可得$：
   $$E(z)=\sum _{i=1}^n\frac{A_{i}z}{z-z_i}$$
   得到：
   $$e_i(nT)=z^{-1}[\frac{A_{i}z}{z-z_i}]，i=1,2,\dots ,n$$
   $可得對應的採樣函數$：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{i=1}^n{e}_i(nT)\delta (t-nT)$$
   b.冪級數法(綜合除法)
   $將z變換函數E(z)表示為按z^{-1}升冪排列的兩個多項式之比：$
   $$E(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}+\cdots +b_m{z}^{-m}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}+\cdots +a_n{z}^{-n}}，m\le n$$
   $其中：a_i(i=1,2,\dots ,n)和b_j(j=0,1,\dots ,m)均為常系數。$
   將上式作綜合除法，可得：
   $$E(z)=c_0+c_1{z}^{-1}+c_2{z}^{-2}+\cdots +c_n{z}^{-n}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n{z}^{-n}$$
   可得$e^{\ast }(t)$的脈衝序列表示式：
   $$e^{\ast }(t)=\sum _{n=0}^{\infty }{c}_n\delta (t-nT)$$
   c.反演積分法(留數法)
   $$e(nT)=\sum _{i=1}^{k}Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}$$
   $式中：Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}表示函數E(z)z^{n-1}在極點z_i處的留數。$
   留數的計算方法：
   ① $若z_i(i=1,2,\dots ,k)為單極點，則有：$
   $$Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}=\underset{z\to z_i}{\lim }[(z-z_i)E(z)z^{n-1}]$$
   ② $若E(z)z^{n-1}有n階重極點z_i，則有：$
   $$Res[E(z)z^{n-1}{]}_{z\to z_i}=\frac{1}{(n-1)!}\underset{z\to z_i}{\lim }\frac{d^{n-1}[(z-z_i{)}^{n}E(z)z^{n-1}]}{d{z}^{n-1}}$$

7.4 離散系統的數學模型

線性離散系統的數學模型有差分方程、脈衝傳遞函式、離散狀態空間表示式。

1. 線性常係數差分方程及其解法
   a.線性常係數差分方程表示式
   $對於一般線性定常離散系統，k時刻的輸出c(k)不但與k時刻的輸入r(k)有關，而且與k時刻以前的輸入r(k-1)，r(k-2)，\dots ,有關，同時還與k時刻以前的輸出c(k-1)，c(k-2)，\dots 有關，這種關系一般可以用n階後向差分方程來描述$：
   $$\begin{gathered} c(k)+a_{1}c(k-1)+a_{2}c(k-2)+\cdots +a_{n-1}c(k-n) \\ =b_{0}r(k)+b_{1}r(k-1)+\cdots +b_{m-1}r(k-m+1)+b_{m}r(k-m) \end{gathered}$$
   可表示為：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-j)$$
   $$\begin{gathered} 式中： \\ {a}_i(i=1,2,3,\dots ,n)和b_j(j=0,1,2,\dots ,m)為常系數，m\le n；上式稱為n階線性常系數差分方程。 \end{gathered}$$
   b.差分方程解法
   ① 迭代法
   已知差分方程，並且給定輸出序列的初值，可以利用遞推關係，一步一步算出輸出序列。
   ② $z$變換法
   已知差分方程，對差分方程兩端取$z$變換，並利用$z$變換的實數位移定理，得到以$z$為變數的代數方程，然後對代數方程的解$c(z)$取$z$反變換，求得輸出序列$c(k)$。
2. 脈衝傳遞函式
   a.脈衝傳遞函式定義
   設開環離散系統如下圖所示：
   
   如果系統的初始條件為零，輸入訊號為$r(t)$，取樣後$r^{\ast }(t)$的$z$變換函式為$R(z)$，系統連續部分的輸出為$c(t)$，取樣後$c^{\ast }(t)$的$z$變換函式為$C(z)$，則線性定常離散系統的脈衝傳遞函式定義為系統輸出取樣訊號的$z$變換與輸入取樣訊號的$z$變換之比，記為：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{n=0}^{\infty }c(nT)z^{-n}}{{\sum }_{n=0}^{\infty }r(nT)z^{-n}}$$
   $注：零初始條件：指在t<0時，輸入脈衝序列各採樣值r(-T),r(-2T),\dots 以及輸出脈衝序列各採樣值c(-T),c(-2T),\dots ,均為零$。
   如果已知$R(z)$和$G(z)$，則在零初始條件下，線性定常離散系統的輸出取樣訊號為：
   $$c^{\ast }(t)=z^{-1}[C(z)]=z^{-1}[G(z)R(z)]$$
   b.脈衝傳遞函式意義
   如果描述線性定常離散系統的差分方程為：
   $$c(nT)=-\sum _{k=1}^n{a}_{k}c[(n-k)T]+\sum _{k=0}^m{b}_{k}r[(m-k)T]$$
   在零初始條件下，對上式進行$z$變換，並應用$z$變換的實數位移定理，得：
   $$C(z)=-\sum _{k=1}^n{a}_{k}C(z)z^{-k}+\sum _{k=0}^m{b}_{k}R(z)z^{-k}$$
   整理可得：
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{{\sum }_{k=0}^m{b}_k{z}^{-k}}{1+{\sum }_{k=1}^n{a}_k{z}^{-k}}$$
   c.脈衝傳遞函式求法
   $由G(s)求G(z)的過程：先求G(s)的拉氏反變換，得到脈衝過渡函數K(t)，再將K(t)按採樣周期離散化，得到加權序列K(nT)，最後將K(nT)進行z變換。$
3. 開環系統脈衝傳遞函式
   a.取樣拉氏變換的兩個重要性質
   ① 取樣函式的拉氏變換具有周期性
   $$G^{\ast }(s)=G^{\ast }(s+jk{\omega }_s)，{\omega }_s為採樣角頻率。$$
   ② 若取樣函式的拉氏變換$E^{\ast }(s)$與連續函式的拉氏變換$G(s)$相乘後再離散化，則$E^{\ast }(s)$可以從離散符號中提出來，即：
   $$[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
   b.有串聯環節時的開環系統脈衝傳遞函式
   ① 串聯環節之間有采樣開關
   
   $如上圖所示，在兩個串聯連續環節G_1(s)和G_2(s)之間，有理想採樣開關隔開，可得：$
   $$D(z)=G_1(z)R(z)，C(z)=G_2(z)D(z)$$
   $其中：G_1(z)和G_2(z)分別為G_1(s)和G_2(s)的脈衝傳遞函數，因此：$
   $$C(z)=G_2(z)G_1(z)R(z)$$
   $開環系統脈衝傳遞函數如下：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=G_1(z)G_2(z)$$
   $上式表明：有理想採樣開關隔開的兩個線性連續環節串聯時的脈衝傳遞函數，等於這兩個環節各自的脈衝傳遞函數之積。$
   ② 串聯環節之間無取樣開關
   
   $如上圖所示，在兩個串聯連續環節G_1(s)和G_2(s)之間，無理想採樣開關隔開，可得：$
   $$C(s)=G_1(s)G_2(s)R^{\ast }(s)$$
   $式中：R^{\ast }(s)為輸入採樣信號r^{\ast }(t)的拉氏變換，對C(s)進行離散化，可得：$
   $$C^{\ast }(s)=[G_1(s)G_2(s)R^{\ast }(s){]}^{\ast }=[G_1(s)G_2(s){]}^{\ast }{R}^{\ast }(s)=G_1{G}_2^{\ast }(s)R^{\ast }(s)$$
   $對上式取z變換，可得：$
   $$C(z)=G_1{G}_2(z)R(z)$$
   $式中：G_1{G}_2(z)是G_1(s)和G_2(s)乘積的z變換，因此，開環系統脈衝傳遞函數為：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)=G_1{G}_2(z)}$$
   $上式表明：沒有理想採樣開關隔開的兩個線性連續環節串聯時的脈衝傳遞函數，等於這兩個環節傳遞函數乘積後的相應z變換。$
   
   c.有零階保持器時的開環系統脈衝傳遞函式
   
   $有零階保持器時，開環系統脈衝傳遞函數為：$
   $$G(z)=\frac{C(z)}{R(z)}=(1-z^{-1})z[\frac{G_0(s)}{s}]$$
   $注：零階保持器不影響離散系統脈衝傳遞函數的極點。$
4. 閉環系統脈衝傳遞函式
   常見的誤差取樣閉環離散系統結構圖如下：
   
   由上圖可得，連續輸出訊號和誤差訊號的拉氏變換為：
   $$C(s)=G(s)E^{\ast }(s)，E(s)=R(s)-H(s)C(s)$$
   因此有：
   $$E(s)=R(s)-H(s)G(s)E^{\ast }(s)$$
   誤差取樣訊號$e^{\ast }(t)$的拉氏變換為：
   $$E^{\ast }(s)=R^{\ast }(s)-H{G}^{\ast }(s)E^{\ast }(s)$$
   可得：
   $$E^{\ast }(s)=\frac{R^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}$$
   因此：
   $$C^{\ast }(s)=[G(s)E^{\ast }(s){]}^{\ast }=G^{\ast }(s)E^{\ast }(s)=\frac{G^{\ast }(s)}{1+H{G}^{\ast }(s)}{R}^{\ast }(s)$$
   對上兩式進行$z$變換：
   $$E(z)=\frac{1}{1+HG(z)}R(z)，C(z)=\frac{G(z)}{1+HG(z)}R(z)$$
   定義閉環離散系統對於輸入量的誤差脈衝傳遞函式：
   $${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+HG(z)}$$
   定義閉環離散系統對於輸入量的脈衝傳遞函式：
   $$\Phi (z)=\frac{C(z)}{R(z)}=\frac{G(z)}{1+HG(z)}$$
   典型閉環離散系統及輸出$z$變換函式：
   
   
   
   
   
   
   
   
5. $z$變換法的侷限性
   $a.z變換法的推導是建立在假定採樣信號可以用理想脈衝序列來近似的基礎上，每個理想脈衝的面積，等於採樣瞬時上的時間函數$；
   $b.輸出z變換函數C(z)，只確定了時間函數c(t)在採樣瞬時上的數值，不能反映c(t)在採樣間隔中的信息，因此，對於任何C(z)，z反變換c(nT)只能代表c(t)在採樣瞬時時t=nT(n=0,1,2\dots )時的數值$；
   $c.用z變換法分析離散系統時，系統連續部分傳遞函數G(s)的極點數至少要比零點數多兩個，即G(s)的脈衝過渡函數K(t)在t=0時必須沒有跳躍，或滿足$：
   $$\underset{s\to \infty }{\lim }sG(s)=0$$
   $否則，用z變換法得到的系統採樣輸出c^{\ast }(t)與實際連續輸出c(t)差別較大，甚至完全不符。$

7.5 離散系統的穩定性與穩態誤差

1. $離散系統穩定的充分必要條件$
   線性定常連續系統中，系統穩定的充分必要條件：系統齊次微分方程的解是收斂的，或者系統特徵方程的根均具有負實部，或者系統傳遞函式的極點均位於$s$左半平面。
   a.定義：若離散系統在有界輸入序列作用下，其輸出序列也是有界的，則稱為該離散系統是穩定的；
   線性定常離散系統，時域中的數學模型是線性定常差分方程，$z$域中的數學模型是脈衝傳遞函式。
   ① 時域中離散系統穩定的充分必要條件
   設線性定常差分方程如下：
   $$c(k)=-\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)+\sum _{j=0}^m{b}_{j}r(k-i)$$
   其齊次差分方程為：
   $$c(k)+\sum _{i=1}^n{a}_{i}c(k-i)=0$$
   設通解為$A{\alpha }^l$，代入齊次方程，得：
   $$A{\alpha }^l({\alpha }^0+a_1{\alpha }^{-1}+\cdots +a_n{\alpha }^{-n})=0$$
   因為$A{\alpha }^l\ne 0$，因此有：
   $${\alpha }^0+a_1{\alpha }^{-1}+\cdots +a_n{\alpha }^{-n}=0$$
   以${\alpha }_n$乘以上式，得差分方程的特徵方程為：
   $${\alpha }^n+a_1{\alpha }^{n-1}+a_2{\alpha }^{n-2}+\cdots +a_n=0$$
   設特徵方程有各不同的特徵根${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$，則差分方程的通解為：
   $$c(k)=A_1{\alpha }_1^l+A_2{\alpha }_2^l+\cdots +A_n{\alpha }_n^l=\sum _{i=1}^n{A}_i{\alpha }_i，k=0,1,2,\dots$$
   $式中：系數A_i可由給定的n個初始條件決定。$
   $系統穩定的充分必要條件是：當且僅當差分方程所有特徵根的模|{\alpha }_i|<1(i=1,2,\dots ,n)，相應的線性定常離散系統是穩定的。$
   ② $z$域中離散系統穩定的充分必要條件
   設典型離散系統結構圖如下：
   
   其特徵方程為：
   $$D(z)=1+GH(z)=0$$
   $$\begin{gathered} s域與z域的映射關系： \\ s左半平面映射為z平面上的單位圓內的區域，對應穩定區域； \\ s右半平面映射為z平面上的單位圓外的區域，對應不穩定區域； \\ s平面上的虛軸，映射為z平面上的單位圓周，對應臨界穩定情況。 \end{gathered}$$
   設上特徵方程的根的極點為各不相同的$z_1,z_2,\dots ,z_n$，則在$z$域中，線性定常離散系統穩定的充分必要條件：
   $當且僅當離散系統特徵根均分布在z平面上的單位圓內，或者所有特徵根的模均小於1，即|z_i|<1(i=1,2,3,\dots ,n)，相應的線性定常離散系統是穩定的。$
2. 離散系統的穩定性判據
   a.$\omega$變換與勞斯穩定判據
   令
   $$z=\frac{\omega +1}{\omega -1}$$
   則有：
   $$\omega =\frac{z+1}{z-1}$$
   $上兩式z和\omega 互為線性變換，因此稱\omega 變換稱為雙線性變換$。
   $$\begin{gathered} 說明： \\ \omega 平面的虛軸對應於z平面上的單位圓周； \\ 左半\omega 平面對應於z平面上單位圓內的區域； \\ 右半\omega 平面對應於z平面上單位圓外的區域。 \end{gathered}$$
   $離散系統穩定的充分必要條件：由特徵方程1+GH(z)=0的所有根位於z平面上的單位圓內，轉換為特徵方程1+GH(\omega )=0的所有根位於左半\omega 平面，可以應用勞斯判據判斷離散系統的穩定性。$
   b.朱利穩定判據
   $設離散系統n階閉環特徵方程為：$
   $$D(z)=a_0+a_{1}z+a_2{z}^2+\cdots +a_n{z}^n=0，a_n>0$$
   $利用特徵方程的系數，構造(2n-3)行、(n+1)列朱列陣列$

行數	$z^0$	$z^1$	$z^2$	$z^3$	$\dots$	$z^{n-k}$	$\dots$	$z^{n-1}$	$z^n$
1	$a_0$	$a_1$	$a_2$	$a_3$	$\dots$	$a_{n-k}$	$\dots$	$a_{n-1}$	$a_n$
2	$a_n$	$a_{n-1}$	$a_{n-2}$	$a_{n-3}$	$\dots$	$a_k$	$\dots$	$a_1$	$a_0$
3	$b_0$	$b_1$	$b_2$	$b_3$	$\dots$	$b_{n-k}$	$\dots$	$b_{n-1}$
4	$b_{n-1}$	$b_{n-2}$	$b_{n-3}$	$b_{n-4}$	$\dots$	$b_{k-1}$	$\dots$	$b_0$
5	$c_0$	$c_1$	$c_2$	$c_3$	$\dots$	$c_{n-2}$	$\dots$
6	$c_{n-2}$	$c_{n-3}$	$c_{n-4}$	$c_{n-5}$	$\dots$	$c_0$	$\dots$
$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$	$⋮$
$2n-5$	$p_0$	$p_1$	$p_2$	$p_3$
$2n-4$	$p_3$	$p_2$	$p_1$	$p_0$
$2n-3$	$q_0$	$q_1$	$q_2$

$各元計算公式如下：$
$$b_k=\left|\begin{array}{cc}{a}_0& a_{n-k}\\ a_n& a_k\end{array}\right|，k=0,1,\dots ,n-1$$
$$c_k=\left|\begin{array}{cc}{b}_0& b_{n-k-1}\\ b_{n-1}& b_k\end{array}\right|，k=0,1,\dots ,n-2$$
$$\dots$$
$$q_0=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_3& p_0\end{array}\right|，q_1=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_2\\ p_2& p_1\end{array}\right|，q_2=\left|\begin{array}{cc}{p}_0& p_3\\ p_1& p_2\end{array}\right|，$$
$朱利穩定判據：特徵方程D(z)=0的根，全部位於z平面上單位圓內的充分必要條件：$
$$D(1)>0，D(-1)\{\begin{array}{l}>0，當n為偶數時\\ <0，當n為奇數時\end{array}$$
$以及下列n-1個約束條件成立：$
$$|a_0|<a_n，|b_n|>|b_{n-1}|，|c_0|>|c_{n-2}|，\dots ,|q_0|>|q_2|$$
$只有當上述諸條件均滿足時，離散系統才是穩定的，否則系統不穩定。$

3. 取樣週期與開環增益對穩定性的影響
   a.當取樣週期一定時，加大開環增益會使離散系統的穩定性變差，甚至使系統變得不穩定；
   b.當開環增益一定時，取樣週期越長，丟失的資訊越多，對離散系統的穩定性及動態效能均不利，甚至可使系統失去穩定性。
4. 離散系統的穩態誤差
   設單位反饋誤差取樣系統如下圖：
   
   $上圖中：G(s)為連續部分的傳遞函數，e(t)為系統連續誤差信號，e^{\ast }(t)為系統採樣誤差信號，其z變換為：$
   $$E(z)=R(z)-C(z)=[1-\Phi (z)]R(z)={\Phi }_e(z)R(z)$$
   其中：
   $${\Phi }_e(z)=\frac{E(z)}{R(z)}=\frac{1}{1+G(z)}$$
   為系統誤差脈衝傳遞函式。
   如果${\Phi }_e(z)$的極點全部位於$z$平面上的單位圓內，即若離散系統是穩定的，則可用$z$變換的終值定理求出取樣瞬時的穩態誤差：
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{t\to \infty }{\lim }{e}^{\ast }(t)=\underset{z\to 1}{\lim }(1-z^{-1})E(z)=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{(z-1)R(z)}{z[1+G(z)]}$$
   上式表明：線性定常離散系統的穩態誤差，不但與系統本身的結構和引數有關，而且與輸入序列的形式及幅值有關，還與取樣週期的選取有關。
5. 離散系統的型別與靜態誤差係數
   $在離散系統中，把開環脈衝傳遞函數G(z)具有z=1的極點數\nu 作為劃分離散系統型別的標準，把G(z)中\nu =0，1，2\dots 的系統，稱為0型、Ⅰ型、Ⅱ型離散系統。$
   a.單位階躍輸入時穩態誤差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{1}{1+G(z)}=\frac{1}{{\lim }_{z\to 1}[1+G(z)]}=\frac{1}{K_p}$$
   $式中：K_p={\lim }_{z\to 1}[1+G(z)]稱為靜態位置誤差系數$。
   b.單位斜坡輸入時的穩態誤差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T}{(z-1)[1+G(z)]}=\frac{T}{{\lim }_{z\to 1}(z-1)G(z)}=\frac{T}{K_v}$$
   $式中：K_v={\lim }_{z\to 1}(z-1)G(z)稱為靜態速度誤差系數$。
   c.單位加速度輸入時的穩態誤差
   $$e_{ss}(\infty )=\underset{z\to 1}{\lim }\frac{T^2(z+1)}{2(z-1{)}^2[1+G(z)]}=\frac{T^2}{{\lim }_{z\to 1}(z-1{)}^{2}G(z)}=\frac{T^2}{K_a}$$
   $式中：K_a={\lim }_{z\to 1}(z-1{)}^{2}G(z)稱為靜態加速度誤差系數$。
   單位反饋離散系統穩態誤差小結：

系統型別	位置誤差$r(t)=1(t)$	速度誤差$r(t)=t$	加速度誤差$r(t)=\frac{1}{2}{t}^2$
0型	$\frac{1}{K_p}$	$\infty$	$\infty$
Ⅰ型	0	$\frac{T}{K_v}$	$\infty$
Ⅱ型	0	0	$\frac{T^2}{K_a}$
Ⅲ型	0	0	0

7.6 離散系統的動態效能分析

1. 離散系統的時間響應
   假定外作用為單位階躍函式，如果可以求出離散系統的閉環脈衝傳遞函式$\Phi (z)=C(z)/R(z)$，其中$R(z)=z/(z-1)$，則系統輸出量的$z$變換函式：
   $$C(z)=\frac{z}{z-1}\Phi (z)$$
   將上式展成冪級數，通過$z$反變換，可以求出輸出訊號的脈衝序列$c^{\ast }(t)。c^{\ast }(t)$代表線性定常離散系統在單位階躍輸入作用下的響應過程。
   如果無法求出離散系統的閉環脈衝傳遞函式$\Phi (z)$，由於$R(z)$是已知的，$C(z)$的表示式總是可以寫出的，則求取$c^{\ast }(t)$沒有技術上的困難。
2. 取樣器和保持器對系統效能的影響
   a.取樣器和保持器不影響開環脈衝傳遞函式的極點，僅影響開環脈衝傳遞函式的零點；
   b.取樣器和保持器會影響閉環離散系統的動態效能；
   c.取樣器可使系統的峰值時間和調節時間略有減小，但使超調量增大，故取樣造成的損失會降低系統的穩定程度；
   d.零階保持器使系統的峰值時間和調節時間都加長，超調量有所增加。

7.7 離散系統的數字校正

1. 線性離散系統設計方法敘述
   線性離散系統設計方法：模擬化設計、離散化設計。
   a.模擬化設計方法：把控制系統按模擬化進行分析，求出數字部分的等效連續環節，然後按連續系統理論設計校正裝置，再將該校正裝置數字化；
   b.離散化設計方法(直接數字設計法)：把控制系統按離散化進行分析，求出系統的脈衝傳遞函式，然後按離散系統理論設計數字控制器。
2. 數字控制器的脈衝傳遞函式
   設離散系統如下圖：
   
   $圖中：D(z)為數字控制器的脈衝傳遞函數，G(s)為保持器與被控對象的傳遞函數，H(s)為反饋測量裝置的傳遞函數。$
   $設H(s)=1，G(s)的變換為G(z)，則系統的閉環脈衝傳遞函數為：$
   $$\Phi (z)=\frac{D(z)G(z)}{1+D(z)G(z)}=\frac{C(z)}{R(z)}$$
   $誤差脈衝傳遞函數：$
   $${\Phi }_e(z)=\frac{1}{1+D(z)G(z)}=\frac{E(z)}{R(z)}$$
   $則有數字控制器的脈衝傳遞函數為：$
   $$D(z)=\frac{\Phi (z)}{G(z)[1-\Phi (z)]}=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$$
   $離散系統的數字校正問題：根據對離散系統性能指標的要求，確定閉環脈衝傳遞函數\Phi (z)或誤差脈衝傳遞函數{\Phi }_e(z)，然後利用上式確定數字控制器的脈衝傳遞函數D(z)。$
3. 最少拍系統設計
   最少拍系統：指在典型輸入作用下，能以有限拍結束響應過程，且在取樣時刻上無穩態誤差的離散系統。
   常見的典型輸入：單位階躍函式、單位速度函式、單位加速度函式。
   $$z[1(t)]=\frac{z}{z-1}=\frac{1}{1-z^{-1}}$$
   $$z[t]=\frac{Tz}{(z-1{)}^2}=\frac{T{z}^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$$
   $$z[\frac{1}{2}{t}^2]=\frac{T^{2}z(z+1)}{2(z-1{)}^3}=\frac{\frac{1}{2}{T}^2{z}^{-1}(1+z^{-1})}{(1-z^{-1}{)}^3}$$
   最少拍系統設計原則：若系統廣義被控物件$G(z)$無延遲且在$z$平面單位圓上及單位圓外無零極點，要求選擇閉環脈衝傳遞函式$\Phi (z)$，使系統在典型輸入作用下，經最少取樣週期後，能使輸出序列在各取樣時刻的穩態誤差為零，達到完全跟蹤的目的，從而確定所需要的數字控制器的脈衝傳遞函式$D(z)$。

典型輸入		閉環脈衝傳遞函式		數字控制器脈衝傳遞函式D(z)	調節時間

針對單位斜坡輸入設計最小拍系統小結：
a.從快速性而言，按單位斜坡輸入設計的最少拍系統，在各種典型輸入作用下，其動態過程均為二拍；
b.從準確性而言，系統對單位階躍輸入和單位斜坡輸入，在取樣時刻均無穩態誤差，但對單位加速度輸入，取樣時刻上的穩態誤差為常量$T^2$；
c.從動態效能而言，系統對單位斜坡輸入下的響應效能較好，這是因為系統本身就是針對此而設計的，但系統對單位階躍輸入響應效能較差，有100%的超調量，因此按某種典型輸入設計的最少拍系統，適應性較差；
d.從平穩性而言，在各種典型輸入作用下系統進入穩態後，在非取樣時刻一般均存在紋波，從而增加系統的機械磨損。

4. 無紋波最少拍系統設計
   a.無紋波最少拍系統的設計要求是：在某一種典型輸入作用下設計的系統，其輸出響應經過儘可能少的取樣週期後，不僅在取樣時刻輸出可以完全跟蹤輸入，而且在非取樣時刻不存在紋波；
   b.無紋波輸出就必須要求取樣序列在有限個取樣週期後，達到相對穩定；
   c.若輸入訊號為：
   $$r(t)=R_0+R_{1}t+\frac{1}{2}{R}_2{t}^2+\cdots +\frac{1}{(q-1)!}{R}_{q-1}{t}^{q-1}$$
   則無紋波最少拍系統的必要條件是：被控物件傳遞函式$G_0(s)$中，至少應包含$(q-1)$個積分環節；
   注：滿足上述條件，最少拍系統不一定無紋波。
   說明：無紋波最少拍控制系統的設計需要通過例項去學習和理解，在此不介紹無紋波最少拍控制系統設計的更多知識。

7.8 離散控制系統設計

例項分析：磁碟驅動讀取系統
例項背景敘述：磁碟驅動讀取系統中，當磁碟旋轉時，每讀一組儲存資料，磁頭都會提取位置偏差資訊。由於磁碟勻速運轉，因此磁頭以恆定的時間間隔逐次讀取格式資訊。通常，偏差訊號的取樣週期為100$\mu s～1ms$。
例項設計要求：設磁碟驅動取樣讀取系統結構圖如圖所示，圖中：$G(z)=z[G_h(z)G_0(z)]$為廣義物件脈衝傳遞函式，$G_h(s)=\frac{1-e^{-sT}}{s}$為零階保持器，$G_0(s)=\frac{5}{s(s+20)}$為被控物件，$D(z)$為數字控制器。當$T=1ms$時，要求設計數字控制器$D(z)$，使系統具有滿意的動態響應效能。

解：
廣義物件脈衝傳遞函式為：
$$G(z)=z[\frac{1-e^{-Ts}}{s}\cdot \frac{5}{s(s+20)}]=(1-z^{-1})[\frac{0.25Tz}{(z-1{)}^2}-\frac{0.0125z}{z-1}+\frac{0.0125z}{z-e^{-20T}}]$$
$因為T=0.001s，z-e^{-20T}=z-0.98，因此：$
$$G(z)=\frac{5\times 10^{-6}}{(z-1)(z-0.98)}$$
為了快速讀取磁碟資訊，要求系統在單位階躍輸入下為一拍系統，設：
$$\Phi (z)=z^{-1}，{\Phi }_e(z)=1-z^{-1}$$
由
$$D(z)=\frac{1-{\Phi }_e(z)}{G(z){\Phi }_e(z)}=\frac{\Phi (z)}{G(z){\Phi }_e(z)}$$
求得數字控制器：
$$D(z)=2\times 10^5(z-0.98)$$
matlab模擬如下：

由模擬圖可得，超調量為零，調節時間為1ms，系統具有穩定且快速的響應。
附matlab程式碼：

T=0.001;t=0:T:0.01;
Gz=zpk([],[1 0.98],5*10^-6,T);   %開環離散系統的傳遞函式
Dz=zpk([0.98],[],2*10^5,T);      %數字控制器
G=series(Gz,Dz);
sys=feedback(G,1);               %閉環離散系統的傳遞函式
step(sys,t);grid;                %閉環系統的單位階躍響應