自動控制原理(考研)理論篇--第五章(線性系統的頻域分析法)

導語

本博文基於自動控制原理(胡壽鬆第六版)全書，將知識點總結，便於同學們的複習，該篇屬於自動控制原理的理論篇，理論性東西較多，閱讀起來難免有點枯燥，但既然堅持了，那就把它讀完吧，因作者也是在複習考研，也是剛畢業的大學生，總結的東西難免會有所紕漏，如發現，請在評論區提醒，望共同進步，考研成功上岸！

5.0 頻域分析法

應用頻率特性研究線性系統的經典方法稱為頻域分析法。
頻域分析法的特點：
a.控制系統及其元部件的頻率特性可以運用分析法和實驗方法獲得，並可用多種形式的曲線表示，因而系統分析和控制器設計可以應用圖解法進行；
b.頻率特性物理意義明確；
c.控制系統的頻域設計可以兼顧動態響應和噪聲抑制兩方面的要求；
d.頻域分析法不僅適用於線性定常系統，還可以推廣應用於某些非線性控制系統。

5.1 頻率特性

1. 頻率特性的基本概念
   設
   $$G(j\omega )=\frac{a(\omega )+jb(\omega )}{c(\omega )+jd(\omega )}=|G(j\omega )|e^{j\angle G(j\omega )}$$
   其中：
   $$|G(j\omega )|=\sqrt{\frac{b^2(\omega )+a^2(\omega )}{c^2(\omega )+d^2(\omega )}}$$
   $$\angle G(j\omega )=\arctan \frac{b(\omega )c(\omega )-a(\omega )d(\omega )}{a(\omega )c(\omega )+d(\omega )b(\omega )}$$
   設輸入為：
   $$r(t)=A\sin (\omega t)$$
   則輸出為：
   $$c(t)=A|G(j\omega )|\sin (\omega t+\angle G(j\omega ))$$
   有如下關係：
   $$A(\omega )=|G(j\omega )|，\phi (\omega )=\angle G(j\omega )$$
   對於穩定的線性定常系統，由諧波輸入產生的輸出穩態分量仍然是與輸入同頻率的諧波函式，而幅值和相位的變化是頻率$\omega$的函式，且與系統數學模型相關。
   定義諧波輸入下，輸出響應中與輸入同頻率的諧波分量與諧波輸入的幅值之比$A(\omega )$為幅頻特性，相位之差$\phi (\omega )$為相頻特性，稱其指數表達形式
   $$G(j\omega )=A(\omega )e^{j\phi (\omega )}$$
   為系統的頻率特性。
2. 頻率特性的幾何表示法
   a.幅相頻率特性曲線(極座標圖)
   幅相頻率特性曲線以橫軸為實軸、縱軸為虛軸，構成複平面。
   若將頻率特性表示為實數和虛數和的形式，則實部為實軸座標值，虛部為虛軸座標值；
   若將頻率特性表示為復指數形式，則為複平面上的向量，而向量的長度為頻率特性的幅值，向量與實軸正方向的夾角等於頻率特性的相位；
   在幅相曲線中，頻率$\omega$為參變數，一般用小箭頭表示$\omega$增大時幅相曲線的變化方向。
   b.對數頻率特性曲線(伯德圖)
   對數頻率特性曲線的橫座標按$lg\omega$分度，單位為弧度/秒$(rad/s)$，對數幅頻曲線的縱座標按
   $$L(\omega )=20lg|G(j\omega )|=20lgA(\omega )$$
   的線性分度，單位是分貝$(dB)$；對數相頻曲線的縱座標按$\phi (\omega )$線性分度，單位為度(°)。
   c.對數幅相曲線(尼科爾斯曲線)
   對數幅相曲線縱座標為$L(\omega )$，單位為分貝$(dB)$，橫座標為$\phi (\omega )$，單位為度(°)，均為線性分度，頻率$\omega$為參變數。

5.2 典型環節與開環系統的頻率特性

1. 典型環節
   典型環節分為兩大類：最小相位環節和非最小相位環節。
   
   開環傳遞函式的典型環節分解將開環系統表示為若干個典型環節的串聯形式：
   $$G(s)H(s)=\prod _{i=1}^N{G}_i(s)$$
   設典型環節的頻率特性為：
   $$G_i(j\omega )=A_i(\omega )e^{j{\phi }_i(\omega )}$$
   則系統開環頻率特性為：
   $$G(j\omega )H(j\omega )=[\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )]e^{j[{\sum }_{i=1}^N{\phi }_i(\omega )]}$$
   系統開環幅頻特性和開環相頻特性：
   $$A(\omega )=\prod _{i=1}^N{A}_i(\omega )，\phi (\omega )=\sum _{i=1}^N{\phi }_i(\omega )$$
   系統開環對數幅頻特性：
   $$L(\omega )=20lgA(\omega )=\sum _{i=1}^{N}20lg{A}_i(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_i(\omega )$$
2. 典型環節的頻率特性
   
3. 開環幅相曲線
   概略開環幅相曲線應反映開環頻率特性的三個重要因素：
   a.開環幅相曲線的起點($\omega =0_{+}$)和終點($\omega =\infty$)；
   b.開環幅相曲線與實軸的交點。設$\omega ={\omega }_x$時，$G(j\omega )H(j\omega )$的虛部為：
   $$Im[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=0$$
   或
   $$\phi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=k\pi ；k=0，\pm 1，\pm 2，\dots$$
   稱${\omega }_x$為穿越頻率，開環頻率特性曲線與實軸交點的座標值為：
   $$Re[G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)]=G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)$$
   c.開環幅相曲線的變化範圍(象限、單調性)。
   繪製開環概略幅相曲線的規律如下：
   a.開環幅相曲線的起點，取決於比例環節$K$和系統積分或微分環節的個數$\nu$(系統型別)；
   $\nu <0$，起點為原點；
   $\nu =0$，起點為實軸上的點$K$處($K$為系統開環增益，$K$有正負之分)；
   $\nu >0$，設$\nu =4k+i(k=0,1,2,\dots ;i=1,2,3,4)$，則$K>0$時為$i\times (-90°)$的無窮遠處，$K<0$時為$i\times (-90°)-180°$的無窮遠處。
   b.開環幅相曲線的終點，取決於開環傳遞函式分子、分母多項式中最小相位環節和非最小相位環節的階次和。
   設系統開環傳遞函式的分子、分母多項式的階次分別為$m和n$，記除$K$外，分子多項式中最小相位環節的階次和為$m_1$，非最小相位環節的階次和為$m_2$，分母多項式中最小相位環節的階次和為$n_1$，非最小相位環節的階次和為$n_2$，則有：
   $$m=m_1+m_2，n=n_1+n_2$$
   $$\phi (\infty )=[(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°，K>0$$
   $$\phi (\infty )=[(m_1-m_2)-(n_1-n_2)]\times 90°-180°，K<0$$
   當開環系統為最小相位系統時，
   $$n=m，G(j\infty )H(j\infty )=K^{\ast }$$
   $$n>m，G(j\infty )H(j\infty )=0\angle (n-m)\times (-90°)$$
   $其中，K^{\ast }為系統開環根軌跡增益$
   c.若開環系統存在等幅振盪環節，重數$l$為正整數，即開環傳遞函式具有如下形式：
   $$G(s)H(s)=\frac{1}{(\frac{s^2}{{\omega }_n^2}+1{)}^l}{G}_1(s)H_1(s)$$
   $G_1(s)H_1(s)不含\pm j{\omega }_n的極點，則當\omega 趨於{\omega }_n時，A(\omega )趨於無窮$，而
   $$\phi ({\omega }_{n^{-}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)=\angle G_1(j{\omega }_n)H_1(j{\omega }_n)$$
   $$\phi ({\omega }_{n^{+}})\approx {\phi }_1({\omega }_n)-l\times 180°$$
   $即\phi (\omega )在\omega ={\omega }_n附近，相角突變-l\times 180°$
4. 開環對數頻率特性曲線
   系統開環對數幅頻漸進特性：
   $$L_a(\omega )=\sum _{i=1}^N{L}_{a_i}(\omega )$$
   對於任意開環傳遞函式，可按典型環節分解，將組成系統的各典型環節分為三部分：
   a.$\frac{K}{s^{\nu }}或\frac{-K}{s^{\nu }}(K>0)$；
   b.一階環節，包括慣性環節、一階微分環節及對應的非最小相位環節，交接頻率為$\frac{1}{T}$；
   c.二階環節，包括振盪環節、二階微分環節及對應的非最小相位環節，交接頻率為${\omega }_n$。
   記${\omega }_{min}$為最小交接頻率，稱$\omega <{\omega }_{min}$的頻率範圍為低頻段。
   開環對數幅頻漸進特性曲線的繪製步驟：
   a.開環傳遞函式典型環節分解；
   b.確定一階環節、二階環節的交接頻率，將各交接頻率標註在半對數座標圖的$\omega$軸上；
   c.繪製低頻段漸進特性線：由於一階環節或二階環節的對數幅頻漸進特性曲線在交接頻率前斜率為$0dB/dec$，在交接頻率處斜率發生變化，故在$\omega <{\omega }_{min}$頻段內，開環系統幅頻漸進特性的斜率取決於$\frac{K}{{\omega }^{\nu }}$，因而直線斜率為$-20\nu dB/dec$，為獲得低頻漸進線，還需要確定該直線上的一點，可以採用以下三種方法：
   方法一：在$\omega <{\omega }_{min}$範圍內，任選一點${\omega }_0$，計算
   $$L_a({\omega }_0)=20lgK-20\nu lg{\omega }_0$$
   方法二：取頻率為特定值${\omega }_0=1$，則
   $$L_a(1)=20lgK$$
   方法三：取$L_a({\omega }_0)$為特殊值0，有$\frac{K}{{\omega }_o^{\nu }=1}$，則
   $${\omega }_0=K^{\frac{1}{\nu }}$$
   於是，過點$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))$在$\omega <{\omega }_{min}$範圍內可作斜率為$-20\nu dB/dec$的直線，若${\omega }_0>{\omega }_{min}$，則點$({\omega }_0,L_a({\omega }_0))$位於低頻漸進特性曲線的延長線上。
   d.作$\omega \ge {\omega }_{min}$頻段漸進特性線。
   
5. 延遲環節和延遲系統
   輸出量經恆定延時後不失真地復現輸入量變化的環節稱為延遲環節，含有延遲環節的系統稱為延遲系統。
   延遲環節的輸入輸出的時域表示式：
   $$c(t)=1(t-\tau )r(t-\tau )$$
   $式中，\tau 為延時時間$。
   延遲環節的傳遞函式：
   $$G(s)=\frac{C(s)}{R(s)}=e^{-\tau s}$$
   延遲環節頻率特性：
   $$G(j\omega )=e^{-j\omega }=1\cdot \angle -57.3\tau \omega$$

5.3 頻率域穩定判據

1. 奈奎斯特穩定判據
   a.奈氏判據：反饋控制系統穩定的充分必要條件是半閉合曲線${\Gamma }_{GH}$不穿過$(-1,j0)$點，且逆時針包圍臨界點$(-1,j0)$點的圈數$R$等於開環傳遞函式的正實部極點數$P$。
   閉環曲線$\Gamma$包圍函式$F(s)=1+G(s)H(s)$的零點數即反饋控制系統正實部極點數為：
   $$Z=P-R=P-2N$$
   $當P\ne R時，Z\ne 0，系統閉環不穩定$。
   b.$R$的計算：設$N$為${\Gamma }_{GH}$穿越$(-1,j0)$點左側負實軸的次數，$N_{+}$表示正穿越的次數和(從上向下穿越)，$N_{-}$表示負穿越的次數和(從下向上穿越)，則
   $$R=2N=2(N_{+}-N_{-})$$
2. 對數頻率穩定判據
   a.對數頻率穩定判據：設$P$為開環系統正實部的極點數，反饋控制系統穩定的充分必要條件是$\phi ({\omega }_c)\ne (2k+1)\pi (k=0,1,2,\dots )和L(\omega )>0時，{\Gamma }_{\phi }曲線穿越(2k+1)\pi 線的次數$
   $$N=N_{+}-N_{-}$$
   滿足
   $$Z=P-2N=0$$
   b.${\Gamma }_{\phi }的確定$
   ① 開環系統無虛軸上極點時，${\Gamma }_{\phi }$等於$\phi (\omega )$曲線；
   ② 開環系統存在積分環節$\frac{1}{s^{\nu }}(\nu >0)$時，複數平面的${\Gamma }_{GH}$曲線，需要從$\omega =0_{+}$的開環幅相曲線的對應點$G(j{0}_{+})H(j{0}_{+})$起，逆時針補作$\nu \times 90°$半徑為無窮大的虛圓弧；對應的，需要從對數相頻特性曲線$\omega$較小且$L(\omega )>0$的點處向上補作$\nu \times 90°$的虛直線，$\phi (\omega )$曲線和補作的虛直線構成${\Gamma }_{\phi }$。
   c.穿越次數的計算
   $正穿越一次：T_{GH}由上向下穿越(-1,j0)點左側的負實軸一次，等價於在L(\omega )>0時，{\Gamma }_{\phi }由下向上穿越(2k+1)\pi 線一次$；
   $負穿越一次：T_{GH}由下向上穿越(-1,j0)點左側的負實軸一次，等價於在L(\omega )>0時，{\Gamma }_{\phi }由上向下穿越(2k+1)\pi 線一次$；
   $正穿越半次：T_{GH}由上向下止於或由上向下起於(-1,j0)點左側的負實軸，等價於在L(\omega )>0時，{\Gamma }_{\phi }由下向上止於或由下向上起於(2k+1)\pi 線$；
   $負穿越半次：T_{GH}由下向上止於或由下向上起於(-1,j0)點左側的負實軸，等價於在L(\omega )>0時，{\Gamma }_{\phi }由上向下止於或由上向下起於(2k+1)\pi 線$；
   注意：補作的虛直線所產生的穿越皆為負穿越。

5.4 穩定裕度

1. 相角裕度
   設${\omega }_c$為系統的截止頻率，則：
   $$A({\omega }_c)=|G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)|=1$$
   定義相角裕度為：
   $$\gamma =180°+\angle G(j{\omega }_c)H(j{\omega }_c)$$
   $相角裕度\gamma 的含義是對於閉環穩定系統，如果系統開環相頻特性在滯後\gamma 度，則系統將處於臨界穩定$。
2. 幅值裕度
   設${\omega }_x$為系統的穿越頻率，則系統在${\omega }_x$處的相角：
   $$\phi ({\omega }_x)=\angle G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)=(2k+1)\pi ；k=0,\pm 1,\dots$$
   定義幅值裕度為：
   $$h=\frac{1}{|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|}$$
   $幅值裕度h的含義是對於閉環穩定系統，如果系統開環幅頻特性再增大h倍，則系統將處於臨界穩定狀態$。
   對數座標下，幅值裕度定義：
   $$h(dB)=-20lg|G(j{\omega }_x)H(j{\omega }_x)|(dB)$$
   
3. 關於相角裕度和幅值裕度的幾點說明
   a.控制系統的相角裕度和幅值裕度是系統的極座標圖對$(-1,j0)$點靠近程度的度量；
   b.對於最小相位系統，只有當相角裕度和幅值裕度都是正值時，系統才是穩定的；
   c.最小相位系統相角裕度一般為$30°～60°$，幅值裕度一般大於$6dB$；
   d.最小相位系統在伯德圖中，對數幅值曲線在截止頻率處的斜率應大於$-40dB/dec$，大多數情況中，為了保證系統穩定，要求截止頻率處的斜率為$-20dB/dec$。

5.5 閉環系統的頻域效能指標

1. 控制系統的頻頻寬度
   設$\Phi (j\omega )$為系統閉環頻率特性，當閉環幅頻特性下降到頻率為零時的分貝值以下3分貝，即$0.707|\Phi (j0)|(dB)$時，對應的頻率稱為頻寬頻率，記為${\omega }_b$。即當$\omega >{\omega }_b$時，
   $$20lg|\Phi (j\omega )|<20lg|\Phi (j0)|-3$$
   頻率範圍$(0,{\omega }_b)$稱為系統的頻寬。
   
   a.一階系統
   設一階系統的閉環傳遞函式為：
   $$\Phi (s)=\frac{1}{Ts+1}$$
   則頻寬頻率為：
   $${\omega }_b=\frac{1}{T}$$
   b.二階系統
   設二階系統閉環傳遞函式為：
   $$\Phi (s)=\frac{{\omega }_n^2}{s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2}$$
   則頻寬頻率為：
   $${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{(1-2{\zeta }^2)+\sqrt{(1-2{\zeta }^2{)}^2+1}}$$
2. 閉環系統頻域指標和時域指標的轉換
   
   

5.6 控制系統頻域設計

工程例項：
背景描述：在腦外科、眼外科等手術中，患者肌肉的無意識運動可能會導致災難性的後果，為了保證合適的手術條件，可以採用控制系統實施自動麻醉，以保證穩定的用藥量，使患者肌肉放鬆。
設計要求：下圖為麻醉控制系統模型，試確定控制器增益$K$和時間常數$\tau$，使系統諧振峰值$M_r\le 1.5$，並確定相應的閉環頻寬頻率${\omega }_b$。

解：
選$\tau =0.5$，可使系統簡化為二階系統，其開環傳遞函式：
$$G_c(s)G_0(s)=\frac{K}{(0.1s+1)(0.5s+1)}$$
閉環特徵方程：
$$D(s)=(0.1s+1)(0.5s+1)+K=0$$
整理：
$$D(s)=s^2+12s+20(1+K)=s^2+2\zeta {\omega }_{n}s+{\omega }_n^2=0$$
則有：
$$\zeta {\omega }_n=6，K=\frac{{\omega }_n^2}{20}-1$$
取$M_r=1.5$，由
$$M_r=\frac{1}{2\zeta \sqrt{1-{\zeta }^2}}，\zeta \le 0.707$$
解得：$\zeta =0.36$，則有：
$${\omega }_n=\frac{6}{\zeta }=16.67，K=\frac{277.78}{20}-1=12.89$$
頻寬頻率為：
$${\omega }_b={\omega }_n\sqrt{1-2{\zeta }^2+\sqrt{2-4{\zeta }^2+4{\zeta }^4}}=23.49rad/s$$
麻醉控制系統閉環$Bode$圖如下：

$附Matlab代碼$：

%麻醉控制系統閉環Bode圖程式碼
K=12.89;tau=0.5;
G1=tf(K*[tau,1],[0.1,1]);
G2=tf([1],conv([0.5,1],[0.5,1]));
G0=series(G1,G2);
G=feedback(G0,1);
W=1:0.01:1000;
bode(G);grid