線性時不變系統的卷積

1. 離散時間線性時不變系統的卷積和

1.1. 用脈衝表示離散時間訊號

任何離散時間訊號都可以看成是由離散時間單位脈衝組成的。

$\tag{1} x[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]\delta[n-k]$
這個式子相當於把任意一個序列表示成一串移位的單位脈衝序列 $\delta[n-k]$ 的線性組合，而這個線性組合中的係數就是 $x[k]$。

1.2. 離散時間線性時不變系統的單位脈衝響應及卷積和表示

由線性系統的可加性，我們可以得到，一個線性時不變系統對 $x[k]$ 的響應就是系統對這些移位單位脈衝的響應的加權疊加。

另一方面，由於是時不變系統，系統對移位脈衝的響應也就是對未移位脈衝響應的移位。

若令 $h_k[n]$ 表示該線性系統對移位單位脈衝 $\delta[n-k]$ 的響應，那麼該線性系統對輸入 $x[n]$ 的響應 $y[n]$ 就是這些基本響應的加權線性組合。
$\tag{2} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h_k[n]$

如果該系統也是時不變的，那麼這些對移位單位脈衝的響應也都是互相之間作了移位。具體來說，因為 $\delta[n-k]$ 是 $\delta[n]$ 的時間移位，響應 $h_k[n]$ 也就是 $h_0[n]$ 的一個時移，即

$\tag{3} h_k[n] = h_0[n-k]$

為了簡化符號，我們將 $h_0[n]$ 的下標去掉，定義單位脈衝序列響應為：

$\tag{4} h[n] = h_0[n]$

這樣 (2) 式就變成
$\tag{5} y[n] = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}x[k]h[n-k]$

這個結果被稱為卷積和，並且 (5) 式 右邊的運算稱為 $x[n]$ 和 $h[n]$ 的卷積，並用符號記作
$\tag{6} y[n] = x[n] * h[n]$

• 例 1
  

• 例 2
  如果我們要對某個特定的 $n$ 求 $y[n]$，我們還可以將訊號 $x[k]$ 和 $h[n-k]$ 都看成是 $k$ 的函式，將它們相乘就得到序列 $g[k] = x[k]h[n-k]$，它可看成在每一個時刻 $k$，輸入 $x[k]$ 對輸出在時刻 $n$ 做出的貢獻，然後將 $g[k]$ 序列中的樣本值相加就是在所選時刻 $n$ 的輸出值。
  

2. 連續時間線性時不變系統的卷積和

2.1. 用衝激表示連續時間訊號

$\tag{7} x(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)\delta(t-\tau)d\tau$
與離散情況一樣，式 (7) 為連續時間衝激函式的篩選性質，任何連續時間訊號都可以用上式來表示。

2.2. 離散時間線性時不變系統的單位脈衝響應及卷積和表示

與離散時間情況下的卷積和相對應，一個連續時間線性時不變系統的特性可以用它的單位衝激響應來刻畫。
$\tag{8} y(t) = \int_{-\infty}^{+\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau$
式 (8) 稱為卷積積分或疊加積分。

• 例 1
  

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