積性函式與完全積性函式
積性函式
若一個數論函式\(f\)滿足當\(gcd(n,m)=1\)時，\(f(nm)=f(n)f(m)\)
則稱\(f\)為積性函式
一些常見的積性函式
完全積性函式
若一個積性函式函式\(f\)滿足當\(gcd(n,m)\ne1\)時，也有\(f(nm)=f(n)f(m)\)
則稱\(f\)為完全積性函式
狄利克雷卷積
定義兩個數論函式的狄利克雷卷積\(*\)
若\(t=f*g\)
\[t(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})
\]
等價於
\[t(n)=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(j)
\]
狄利克雷卷積有以下性質(兩個數論函式相等，是指兩個函式的每一項都相等)：
- 交換律 \(f*g=g*f\)
- 結合律 \(f*(g*h)=(f*g)*h\)
- 分配律 \(f*h+g*h=(f+g)*h\)
- 沒有名字\((xf)*g=x(f*g)\)
- 單位元\(\epsilon*f=f\) ，其中\(\epsilon(n)=[n==1]\)
- 逆元:對於每一個\(f(1)≠0\)的函式\(f\)，都有\(f∗g=ϵ\)
討論一下第六個結論，如何求一個函式的逆呢？
只需要定義
\[g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\frac{n}{i})\right)
\]
這樣的話
\[\sum\limits_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})=f(1)g(n)+\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\frac{n}{i})=[n==1]
\]
幾種比較常見的卷積關係：
\(\mu*1=\epsilon\) 【莫比烏斯反演】【\(\mu\)與\(1\)互為逆元】
\(\varphi*1=Id\)
\(\varphi=Id*\mu\)
\(d=1*1\)
\(1=\mu*d\)
莫比烏斯反演
我們定義\(1\)的逆是\(\mu\)
這樣的話，如果\(g=f∗1\)，就有\(f=f∗1∗\mu=g∗\mu\)
換句話說，就是
\[g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d)
\]
也可以這樣子
\[g(d)=\sum\limits_{d|n}f(n)\Leftrightarrow f(d)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})*g(n)
\]
例子
怎麼用呢？舉幾個例子(以下情況預設\(n≤m\))
Eg1
求
\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]
\]
設
\[f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1]
\]
\[g(x)=\sum\limits_{x|d}f(d)
\]
則
\[f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})g(d) \\
f(1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)g(i)
\]
考慮\(g(x)\)是什麼
\[g(x)=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m[gcd(i,j)==d]
\]
即
\[g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m[x|gcd(i,j)] \\
g(x)=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac nx\right\rfloor}\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mx\right\rfloor}[1|gcd(i,j)]\\
g(x)=\left\lfloor\frac nx\right\rfloor\left\lfloor\frac mx\right\rfloor\]
帶回\(f(1)\)
\[Ans=\sum_{x=1}^n\mu(x)\left\lfloor\frac nx\right\rfloor\left\lfloor\frac mx\right\rfloor
\]
這個用整除分塊可以做到\(O(\sqrt(n))\)