狄利克雷卷積 & 莫比烏斯反演

hulean發表於2020-08-06

積性函式與完全積性函式

積性函式

若一個數論函式\(f\)滿足當\(gcd(n,m)=1\)時,\(f(nm)=f(n)f(m)\)

則稱\(f\)為積性函式

一些常見的積性函式

圖掛了

完全積性函式

若一個積性函式函式\(f\)滿足當\(gcd(n,m)\ne1\)時,也有\(f(nm)=f(n)f(m)\)

則稱\(f\)為完全積性函式

狄利克雷卷積

定義兩個數論函式的狄利克雷卷積\(*\)

\(t=f*g\)

\[t(n)=\sum\limits_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i}) \]

等價於

\[t(n)=\sum\limits_{ij=n}f(i)g(j) \]

狄利克雷卷積有以下性質(兩個數論函式相等,是指兩個函式的每一項都相等):

  1. 交換律 \(f*g=g*f\)
  2. 結合律 \(f*(g*h)=(f*g)*h\)
  3. 分配律 \(f*h+g*h=(f+g)*h\)
  4. 沒有名字\((xf)*g=x(f*g)\)
  5. 單位元\(\epsilon*f=f\) ,其中\(\epsilon(n)=[n==1]\)
  6. 逆元:對於每一個\(f(1)≠0\)的函式\(f\),都有\(f∗g=ϵ\)

討論一下第六個結論,如何求一個函式的逆呢?

只需要定義

\[g(n)=\frac{1}{f(1)}\left([n==1]-\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\frac{n}{i})\right) \]

這樣的話

\[\sum\limits_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})=f(1)g(n)+\sum\limits_{i|n,i\ne1}f(i)g(\frac{n}{i})=[n==1] \]

幾種比較常見的卷積關係:

\(\mu*1=\epsilon\) 【莫比烏斯反演】【\(\mu\)\(1\)互為逆元】

\(\varphi*1=Id\)

\(\varphi=Id*\mu\)

\(d=1*1\)

\(1=\mu*d\)

莫比烏斯反演

我們定義\(1\)的逆是\(\mu\)

這樣的話,如果\(g=f∗1\),就有\(f=f∗1∗\mu=g∗\mu\)

換句話說,就是

\[g(n)=\sum\limits_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})g(d) \]

也可以這樣子

\[g(d)=\sum\limits_{d|n}f(n)\Leftrightarrow f(d)=\sum\limits_{d|n}\mu(\frac{n}{d})*g(n) \]

例子

怎麼用呢?舉幾個例子(以下情況預設\(n≤m\))

Eg1

\[\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] \]

\[f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{m}[gcd(i,j)==1] \]

\[g(x)=\sum\limits_{x|d}f(d) \]

\[f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})g(d) \\ f(1)=\sum_{i=1}^n\mu(i)g(i) \]

考慮\(g(x)\)是什麼

\[g(x)=\sum_{x|d}\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m[gcd(i,j)==d] \]

\[g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{i=1}^m[x|gcd(i,j)] \\ g(x)=\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac nx\right\rfloor}\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac mx\right\rfloor}[1|gcd(i,j)]\\ g(x)=\left\lfloor\frac nx\right\rfloor\left\lfloor\frac mx\right\rfloor\]

帶回\(f(1)\)

\[Ans=\sum_{x=1}^n\mu(x)\left\lfloor\frac nx\right\rfloor\left\lfloor\frac mx\right\rfloor \]

這個用整除分塊可以做到\(O(\sqrt(n))\)

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