莫比烏斯函式

辜铜星發表於2024-05-30
原文網址 : https://blog.csdn.net/lpf_as_a_oier/article/details/51942616
函式

莫比烏斯反演在數論中佔有重要的地位，許多情況下能大大簡化運算。那麼我們先來認識莫比烏斯反演公式。

 

定理：和是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件，那麼我們得到結論

 

     

 

在上面的公式中有一個函式，它的定義如下：

 

    （1）若，那麼

    （2）若，均為互異素數，那麼

    （3）其它情況下

 

 

對於函式，它有如下的常見性質：

 

    （1）對任意正整數有

  

                            

 證明：設n = p1^b1 * p2^b2 * ... * pn ^ bn， 我們設有k個pi的係數為1（當係數是偶數時莫比烏斯函式的值為0可以不用考慮），則答案為 這個式子答案為0.。

        （2）對任意正整數有

 

         

現在我們來證明莫比烏斯反演公式


好了證明完畢

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