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前置知識：
數論分塊
可以求形如：\(\sum f(i)g(\left \lfloor n/i \right \rfloor )\) 的東西。
原理如下：
比如說求 $\sum_{i=1}^{10}\left \lfloor 10/i \right \rfloor $
得到：10 5 3 2 2 1 1 1 1 1
可以發現有一些塊的數值是一樣的。
具體一點可以發現 \([l, \left \lfloor \frac{n}{\left \lfloor \frac{n}{l} \right \rfloor } \right \rfloor ]\) 裡的數值都是一樣的。
又因為這樣的值只有 \(\sqrt n\) 個，因此這個式子可以在 \(O(\sqrt n)\) 的複雜度算出來.
int sum(int n)
{
int res = 0;
for (int i = 1,r;i <= n;i = r + 1)
{
r = n/(n/i);
res += ...//計算貢獻
}
return res;
}
狄利克雷卷積
一些數論函式:
\(\epsilon (n)\) : \([n=1]\)
\(I(n)\)：任何情況下，\(I(n) = 1\)。
\(id(n)\): \(id(n) = n\)
\(\varphi(n)\) : 尤拉函式， \([1,n]\) 之內與 \(n\) 互質的整數的個數.單點求解尤拉函式
點選檢視程式碼
int get_euler(int n)
{
phi[1] = 1;
for (int i = 2;i <= n;i++)
{
if (!vis[i])
{
prime[cnt++] = i;
phi[i] = i - 1;
}
for (int j = 0;prime[j]<= n/i;j++)
{
vis[prime[j] * i] = 1;
if (i % prime[j] == 0)
{
phi[i*prime[j]] = phi[i] * prime[j];
break;
}
phi[prime[j] * i] = phi[i] * (prime[j]-1);
}
}
return res;
}
莫比烏斯函式 \(\mu\) ：
篩法：
點選檢視程式碼
void euler(int n)
{
mu[1] = 1;
for (int i = 2;i <= n;i++)
{
if (!vis[i]) primes[cnt++] = i,mu[i] = -1;
for (int j = 0;primes[j] <= n / i;j++)
{
int num = i * primes[j];
vis[num] = 1;
if (i % primes[j] == 0)
{
mu[num] = 0;
break;
}
mu[num] = -mu[i];
}
}
}
\(\sigma(n)\) 約數和函式:\(\sigma(n) = \sum _{d|n} d\)。
狄利克雷卷積
\[{\large (f*g)(n) = \sum_{d|n}^{} f(d) \times g(\frac{n}{d})}
\]
則有：
\[{\large \mu * I = \epsilon}
\]
\[{\large \varphi * I = id}
\]
\[{\large \mu * id = \varphi}
\]
\[{\large f * \epsilon = f}
\]
\[{\large I * id = \sigma}
\]
\(\epsilon\) 是單位函式，\(\mu\) 和 \(I\) 互為逆元。
同時可以發現狄利克雷卷積滿足交換律、分配律和結合律。
例題1
${\large \mu * I = \epsilon} $
例題2
${\large \varphi * I = id} $
例題3
${\large \mu * I = \epsilon} $
