這裡寫一下為什麼下面式子 \(a\) 和 \(p\) 是互質的。
\[ax \equiv 1\ (mod \ p)
\]
其實就是逆元定義。
考慮如下的反證法：
分情況討論
- 1.\(a\) 是 \(p\) 的倍數。
此時則有
\[kpx \equiv 1\ (mod \ p)
\]
(其中 \(k\) 是一個引數，表示 \(a\) 是 \(p\) 的倍數)
顯然，左邊的模 \(p\) 等於 \(0\)。
- 2.\(a\) 是 \(p\) 的約數。
此時有
\[ax \equiv 1\ (mod \ ka)
\]
（\(k\) 同上面的）
考慮 \(ax\) 模 \(ka\) 什麼時候等於 \(1\)。
發現這兩個代數式都是 \(a\) 的倍數，而模可以堪稱 \(ax\) 減去若干個 \(ka\) 所得的餘數，發現差一定是 \(a\) 的倍數。
特殊的，如果 \(a=1\)，則原式不成立。
所以，逆元的充要條件是 \(a\) 與 \(p\) 互質。