莫隊演算法詳解
本文翻譯自MO’s Algorithm (Query square root decomposition)，作者anudeep2011，發表日期為2014-12-28。由於最近碰到一些莫隊演算法的題目，找到的相關中文資料都比較簡略，而這篇英語文章則講解的比較詳細，故翻譯成中文與大家分享。由於本人水平有限，錯誤在所難免，請諒解。下面是譯文。
我又發現了一個有用，有趣但網上資源非常少的話題。在寫作之前，我做了一個小調查，令我驚訝的是，幾乎所有的印度程式設計師都不知道該演算法。學習這個很重要，事實上所有的codeforces紅名程式設計師都使用這個演算法，比如在div 1 C題和D題中。在一年半以前沒有這方面的題目，但從那時起這類題目的數量就爆發了！我們可以期待這在未來的比賽中會有更多的這類題目。
一、問題描述
給定一個大小為N的陣列，陣列中所有元素的大小<=N。你需要回答M個查詢。每個查詢的形式是L，R。你需要回答在範圍[ L，R ]中至少重複3次的數字的個數。
例如：陣列為{ 1，2，3，1，1，2，1，2，3，1 }（索引從0開始）
查詢：L = 0，R = 4。 答案= 1。在範圍[L，R]中的值 = { 1，2，3，1，1 }，只有1是至少重複3次的。
查詢：L = 1， R = 8。答案= 2。在範圍[L，R]中的值 = { 2，3，1，1，2，1，2，3 }， 1重複3遍並且2重複3次。至少重複3次的元素數目=答案= 2。
複雜度O(N^2)的簡單的解法
對於每一個查詢，從L至R迴圈，統計元素出現頻率，報告答案。考慮M = N的情況，以下程式在最
壞的情況執行在O(n^2）
for each query:
answer = 0
count[] = 0
for i in {l..r}:
count[array[i]]++
if count[array[i]] == 3:
answer++
對上述演算法稍作修改。它仍然執行在O（n^2）
add(position):
count[array[position]]++
if count[array[position]] == 3:
answer++
remove(position):
count[array[position]]--
if count[array[position]] == 2:
answer--
currentL = 0
currentR = 0
answer = 0
count[] = 0
for each query:
// currentL 應當到 L, currentR 應當到 R
while currentL < L:
remove(currentL)
currentL++
while currentL > L:
add(currentL)
currentL--
while currentR < R:
add(currentR)
currentR++
while currentR > R:
remove(currentR)
currentR--
output answer
最初我們總是從L至R迴圈，但現在我們從上一次查詢的位置調整到當前的查詢的位置。
如果上一次的查詢是L = 3，R = 10，則我們在查詢結束時有currentL=3、currentR=10。如果下一個查詢是L = 5，R = 7，則我們將currentL 移動到5，currentR 移動到7。
add 函式 意味著我們新增該位置的元素到當前集合內，並且更新相應的回答。
remove 函式 意味著我們從當前集合內移除該位置的元素，並且更新相應的回答。
二、一個解決上述問題的演算法及其正確性
莫隊演算法僅僅調整我們處理查詢的順序。我們得到了M個查詢，我們將把查詢以一個特定的順序進行重新排序，然後處理它們。顯然，這是一個離線演算法。每個查詢都有L和R，我們稱呼其為“起點”和“終點”。讓我們將給定的輸入陣列分為√N塊。每一塊的大小為 N/√N=√N。每個“起點”落入其中的一塊。每個“終點”也落入其中的一塊。
如果某查詢的“起點”落在第p塊中，則該查詢屬於第p塊。該演算法將處理第1塊中的查詢，然後處理第2塊中的查詢，等等，最後直到第√N塊。我們已經有一個順序、查詢按照所在的塊升序排列。可以有很多的查詢屬於同一塊。
從現在開始，我會忽略（其它，譯者注，所有括號內斜體同）所有的塊，只關注我們如何詢問和回答第1塊。我們將對所有塊做同樣的事。（第1塊中的）所有查詢的“起點”屬於第1塊，但“終點”可以在包括第1塊在內的任何塊中。現在讓我們按照R值升序的順序重新排列這些查詢。我們也在所有的塊中做這個操作。（指每個塊塊內按R升序排列。）
最終的排序是怎樣的？ 下面例子，看懂了就明白這個演算法了
所有的詢問首先按照所在塊的編號升序排列（所在塊的編號是指詢問的“起點”屬於的塊）。如果編號相同，則按R值升序排列。
例如考慮如下的詢問，假設我們會有3個大小為3的塊（0-2,3-5,6-8）：
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {7, 8} {4, 8} {4, 4} {1, 2}
讓我們先根據所在塊的編號重新排列它們
{0, 3} {1, 7} {2, 8} {1, 2} （|）{4, 8} {4, 4}（|） {7, 8}
現在我們按照R的值重新排列
{1, 2} {0, 3} {1, 7} {2, 8}（|） {4, 4} {4, 8}（|） {7, 8}
現在我們使用與上一節所述相同的程式碼來解決這個問題。上述演算法是正確，因為我們沒有做任何改變，只是重新排列了查詢的順序。
三、對上述演算法的複雜性證明 - O(N^1.5)
我們完成了莫隊演算法，它只是一個重新排序。可怕的是它的執行時分析。原來，如果我們按照我上面指定的順序，我們所寫的O（N2）的程式碼執行在O（√N×N）時間複雜度上。可怕，這是正確的，僅僅是重新排序查詢使我們把複雜度從O（N2）降低到O（√N×N），而且也沒有任何進一步的程式碼上的修改。好哇！我們將以O（√N×N）的複雜度AC。
看看我們上面的程式碼，所有查詢的複雜性是由 4個while迴圈決定的。前2個while迴圈可以表述為“左指標(currentL)的移動總量”，後2個 while迴圈可以表述為“右指標(currentR)的移動總量”。這兩者的和將是總複雜性。
最重要的。讓我們先談論右指標。對於每個塊，查詢是遞增的順序排序，所以右指標（currentR）按照遞增的順序移動。在下一個塊的開始時，指標可能在extreme end （最右端？) ，將移動到下一個塊中的最小的R處。這意味著對於一個給定的塊，右指標移動的量是O（N）。我們有O（√N）塊，所以總共是O（N*√N）。太好了！
讓我們看看左指標怎樣移動。對於每個塊，所有查詢的左指標落在同一個塊中，當我們從一個查詢移動到另個一查詢左指標會移動，但由於前一個L與當前的L在同一塊中，此移動是O（√N）（塊大小）的。在每一塊中左指標的移動總量是O（Q*√N），Q是落在那個塊的查詢的數量。對於所有的塊，總的複雜度為O（M*√N）。
就是這樣，總複雜度為O((N+M)*√N)=O(N*√N)
四、上述演算法的適用範圍
如前所述，該演算法是離線的，這意味著當我們被強制按照特定的順序查詢時，我們不能再使用它。這也意味著當有更新操作時我們不能用這個演算法。不僅如此，一個重要的可能的侷限性：我們應該能夠編寫add 和remove函式。會有很多的情況下，add 是平凡的 （指複雜度O(1)？），但remove不是。這樣的一個例子就是我們想要求區間內最大值。當我們新增的元素，我們可以跟蹤最大值。但當我們刪除元素則不是平凡的。不管怎樣，在這種情況下，我們可以使用一個集合來新增元素，刪除元素和報告 最小值（作者想說最大值？）。在這種情況下，新增和刪除操作都是O（logN）（導致了O（N*√N*logN）的演算法）。
在許多情況下，我們可以使用此演算法。在一些情況下，我們也可以使用其它的資料結構，如線段樹，但對於一些問題使用莫隊演算法的是必須的。讓我們在下一節中討論幾個問題。
習題和示例程式碼
DQUERY – SPOJ：區間內不同元素的數量=出現次數>=1的元素個數，所以跟以上討論的問題是一樣的。
點選此處檢視示例程式碼
注意：該程式碼提交會超時，加上更快的輸入輸出(傳說中的輸入輸出掛？) 就能AC。為了使程式碼整潔，去掉了快的輸入輸出。（評論中說將remove 和add 宣告為inline行內函數就可以AC。）
Powerful array – CF Div1 D: 這道題是必須用莫隊演算法的例子。我找不到任何其它解法。 CF Div1 D 意味著這是一道難題。看看用了莫隊演算法就多簡單了。 你只需要修改上述程式碼中的add(), remove() 函式。
GERALD07 – Codechef
GERALD3 – Codechef
Tree and Queries – CF Div1 D
Powerful Array – CF Div1 D
Jeff and Removing Periods – CF Div1 D