洛谷 P2257 YY的GCD（莫比烏斯反演）

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題目大意

求${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^m[gcd(i,j)=p],p\in primes$

解題思路

首先看到這個$[gcd(i,j)=p]$，肯定要聯想到如下變換$gcd(i,j)=1\iff [\frac{1}{n}]\iff {\sum }_{d|n}\mu (d)$

因為需要求的是範圍內每種質數的${\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^m[gcd(i,j)=p]$之和，最後的問題就轉化為了：

${\sum }_{p\in primes}{\sum }_{i=1}^n{\sum }_{i=1}^m[gcd(i,j)=p]$

考慮提取出$p$然後化為上述能等價代換的形式，即：

${\sum }_{p\in primes}{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }[gcd(i,j)=1]$

然後再次轉換：${\sum }_{p\in primes}{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{p}\rfloor }{\sum }_{i=1}^{\lfloor \frac{m}{p}\rfloor }{\sum }_{d|gcd(i,j)}\mu (d)$

將最右端的求和提到最前面，改為列舉$d$：

${\sum }_{p\in primes}{\sum }_{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \lfloor \frac{m}{p}\rfloor )}\mu (d)\lfloor \frac{n}{dp}\rfloor \lfloor \frac{m}{dp}\rfloor$

這時似乎已經可以寫了，冷靜分析一波時間複雜度，$1e7$內大約有$3e6$個素數，再加上後面的$\sqrt{n}$，我們發現應該會$TLE$

這時一個至關重要的變換技巧需要知道：

設$T=dp$，那麼：

${\sum }_{p\in primes}{\sum }_{d=1}^{min(\lfloor \frac{n}{p}\rfloor \lfloor \frac{m}{p}\rfloor )}\mu (d)\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor$

然後我們改為列舉$T$，不難發現$T$會取遍$[1,min(n,m)]$，而$d|T$是已知的，那麼最終得到了如下式子：

${\sum }_{T=1}^{min(n,m)}{\sum }_{p|T,p\in primes}\mu (\frac{T}{p})\lfloor \frac{n}{T}\rfloor \lfloor \frac{m}{T}\rfloor$

${\sum }_{p|T,p\in primes}\mu (\frac{T}{p})$的含義是對於某個$T$，其最終的貢獻為所有單個質因子的另外相乘部分的貢獻累積，那麼考慮埃氏篩我們可以預處理每個$T$的貢獻，最後不要忘了我們要對上述式子整除分塊，需要再對$T$進行字首和預處理

總體時間複雜度$O(nlogn+T\sqrt{n})$

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// Created by Happig on 2020/9/24
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#include <bits/stdc++.h>
#include <unordered_map>
#include <unordered_set>

using namespace std;
#define fi first
#define se second
#define pb push_back
#define ins insert
#define Vector Point
#define ENDL "\n"
#define lowbit(x) (x&(-x))
#define mkp(x, y) make_pair(x,y)
#define mem(a, x) memset(a,x,sizeof a);
typedef long long ll;
typedef long double ld;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<ll, ll> pll;
typedef pair<double, double> pdd;
const double eps = 1e-8;
const double pi = acos(-1.0);
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const double dinf = 1e300;
const ll INF = 1e18;
const int Mod = 1e9 + 7;
const int maxn = 1e7 + 10;

vector<int> prime;
bitset<maxn> vis;
int mu[maxn];
ll sum[maxn];

void init() {
    vis.reset(), prime.clear();
    mu[1] = 1;
    for (int i = 2; i < maxn; i++) {
        if (!vis[i]) {
            prime.push_back(i);
            mu[i] = -1;
        }
        for (int j = 0; j < prime.size() && i * prime[j] < maxn; j++) {
            vis[i * prime[j]] = 1;
            if (i % prime[j]) {
                mu[i * prime[j]] = -mu[i];
            } else {
                mu[i * prime[j]] = 0;
                break;
            }
        }
    }
    for (int i = 0; i < prime.size(); i++) {
        int p = prime[i];
        for (int j = p; j < maxn; j += p) {
            sum[j] += mu[j / p];
        }
    }
    for (int i = 1; i < maxn; i++) sum[i] += sum[i - 1];
}

int main() {
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);
    ios_base::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);
    int t, n, m;
    init();
    cin >> t;
    while (t--) {
        cin >> n >> m;
        ll ans = 0;
        int up = min(n, m);
        for (int l = 1, r; l <= up; l = r + 1) {
            r = min(n / (n / l), m / (m / l));
            if (r > up) r = up;
            ans += (sum[r] - sum[l - 1]) * (n / l) * (m / l);
        }
        cout << ans << ENDL;
    }
    return 0;
}