[題解]AT_abc281_g [ABC281G] Farthest City

思路

定義 \(dp_{i,j}\) 表示前若干層一共有 \(i\) 個點，且在這些層中最外層的點數為 \(j\) 的方案數。

那麼，我們先求出最外層的方案數，在 \(n - (i - j) - 1\)（即減去前若干層中除最外層點的數量再減去 \(n\) 號點）中選出 \(j\) 個作為最外層的點。所以，貢獻為 \(C_{n - (i - j) - 1}^j\)。

令 \(k\) 為前 \(i - j\) 個數的最後一層的點數。那麼，最後一層的 \(j\) 個數可以與上一層的 \(k\) 個點兩兩連一條邊（如果連線了上上層，則 \(d\) 會發生改變，所以不行），即對於每一個點都有 \(\sum_{p = 1}^{k}C_{k}^{p}\)，又根據二項式定理，化簡為 \(2^k - 1\)。因此，對於所有的 \(j\) 個點，貢獻為 \((2^k - 1)^j\)。

然後，對於那 \(j\) 個點，內部也可以兩兩連邊，而最多建為一張完全圖，邊數為 \(\frac{j \times (j - 1)}{2}\)，記作 \(x\)。所以，方案數為 \(\sum_{p = 1}^xC_{x}^p\)，又由二項式定理得 \(2^x\)，也就是 \(2^{\frac{j \times (j - 1)}{2}}\)。

綜上，可得出狀態轉移方程：

\[ dp_{i,j} = \sum_{k = 1}^{i - j}(dp_{i - j,k} \times C_{n - (i - j) - 1}^j \times (2^k - 1)^j \times 2^{\frac{j \times (j - 1)}{2}}) \]

答案為：\(dp_{n,1}\)。

注意要初始化 \(2^k,(2^k - 1)^j,C_n^m\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>  
#define int long long  
#define re register  
  
using namespace std;  
  
const int N = 510;  
int n,mod;  
int pot[N * N];  
int C[N][N],q[N][N],dp[N][N];  
  
inline int read(){  
    int r = 0,w = 1;  
    char c = getchar();  
    while (c < '0' || c > '9'){  
        if (c == '-') w = -1;  
        c = getchar();  
    }  
    while (c >= '0' && c <= '9'){  
        r = (r << 3) + (r << 1) + (c ^ 48);  
        c = getchar();  
    }  
    return r * w;  
}  
  
inline int qmi(int a,int b){  
    int res = 1;  
    while (b){  
        if (b & 1) res = res * a % mod;  
        a = a * a % mod;  
        b >>= 1;  
    }  
    return res;  
}  
  
inline void init(){//初始化   
    C[0][0] = C[0][1] = pot[0] = 1;  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        C[i][0] = C[i][i] = 1;  
        for (re int j = 1;j < i;j++) C[i][j] = (C[i - 1][j] + C[i - 1][j - 1]) % mod;  
    }  
    for (re int i = 1;i <= n * (n - 1) / 2;i++) pot[i] = pot[i - 1] * 2 % mod;  
    for (re int i = 1;i <= n;i++){  
        for (re int j = 1;j <= n;j++) q[i][j] = qmi(pot[i] - 1,j);  
    }  
}  
  
signed main(){  
    n = read();  
    mod = read();  
    init();  
    dp[1][1] = 1;  
    for (re int i = 2;i <= n;i++){  
        for (re int j = 1;j < i;j++){  
            for (re int k = 1;k <= i - j;k++) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i - j][k] * C[n - (i - j) - 1][j] % mod * q[k][j] % mod * pot[j * (j - 1) / 2] % mod) % mod;  
        }  
    }  
    printf("%lld",dp[n][1]);  
    return 0;  
}