前面我們講到頻繁項集挖掘的關聯演算法Apriori和FP Tree。這兩個演算法都是挖掘頻繁項集的。而今天我們要介紹的PrefixSpan演算法也是關聯演算法，但是它是挖掘頻繁序列模式的，因此要解決的問題目標稍有不同。
1. 項集資料和序列資料
首先我們看看項集資料和序列資料有什麼不同，如下圖所示。
左邊的資料集就是項集資料，在Apriori和FP Tree演算法中我們也已經看到過了，每個項集資料由若干項組成，這些項沒有時間上的先後關係。而右邊的序列資料則不一樣，它是由若干資料項集組成的序列。比如第一個序列<a(abc)(ac)d(cf)>,它由a,abc,ac,d,cf共5個項集資料組成，並且這些項有時間上的先後關係。對於多於一個項的項集我們要加上括號，以便和其他的項集分開。同時由於項集內部是不區分先後順序的，為了方便資料處理，我們一般將序列資料內所有的項集內部按字母順序排序。
2. 子序列與頻繁序列
瞭解了序列資料的概念，我們再來看看上面是子序列。子序列和我們數學上的子集的概念很類似，也就是說，如果某個序列A所有的項集在序列B中的項集都可以找到，則A就是B的子序列。當然，如果用嚴格的數學描述，子序列是這樣的：
對於序列A={$a_1,a_2,...a_n$}和序列B={$b_1,b_2,...b_m$},$n \leq m$，如果存在數字序列$1 \leq j_1 \leq j_2 \leq ... \leq j_n \leq m$, 滿足$a_1 \subseteq b_{j_1}, a_2 \subseteq b_{j_2}...a_n \subseteq b_{j_n} $，則稱A是B的子序列。當然反過來說， B就是A的超序列。
而頻繁序列則和我們的頻繁項集很類似，也就是頻繁出現的子序列。比如對於下圖，支援度閾值定義為50%，也就是需要出現兩次的子序列才是頻繁序列。而子序列<(ab)c>是頻繁序列，因為它是圖中的第一條資料和第三條序列資料的子序列，對應的位置用藍色標示。
3. PrefixSpan演算法的一些概念
PrefixSpan演算法的全稱是Prefix-Projected Pattern Growth，即字首投影的模式挖掘。裡面有字首和投影兩個詞。那麼我們首先看看什麼是PrefixSpan演算法中的字首prefix。
在PrefixSpan演算法中的字首prefix通俗意義講就是序列資料前面部分的子序列。比如對於序列資料B=<a(abc)(ac)d(cf)>，而A=<a(abc)a>,則A是B的字首。當然B的字首不止一個，比如<a>, <aa>, <a(ab)> 也都是B的字首。
看了字首，我們再來看字首投影，其實字首投影這兒就是我們的字尾，有字首就有字尾嘛。字首加上字尾就可以構成一個我們的序列。下面給出字首和字尾的例子。對於某一個字首，序列裡字首後面剩下的子序列即為我們的字尾。如果字首最後的項是項集的一部分，則用一個“_”來佔位表示。
下面這個例子展示了序列<a(abc)(ac)d(cf)>的一些字首和字尾，還是比較直觀的。要注意的是，如果字首的末尾不是一個完全的項集，則需要加一個佔位符。
在PrefixSpan演算法中，相同字首對應的所有字尾的結合我們稱為字首對應的投影資料庫。
4. PrefixSpan演算法思想
現在我們來看看PrefixSpan演算法的思想，PrefixSpan演算法的目標是挖掘出滿足最小支援度的頻繁序列。那麼怎麼去挖掘出所有滿足要求的頻繁序列呢。回憶Aprior演算法，它是從頻繁1項集出發，一步步的挖掘2項集，直到最大的K項集。PrefixSpan演算法也類似，它從長度為1的字首開始挖掘序列模式，搜尋對應的投影資料庫得到長度為1的字首對應的頻繁序列，然後遞迴的挖掘長度為2的字首所對應的頻繁序列，。。。以此類推，一直遞迴到不能挖掘到更長的字首挖掘為止。
比如對應於我們第二節的例子，支援度閾值為50%。裡面長度為1的字首包括<a>, <b>, <c>, <d>, <e>, <f>,<g>我們需要對這6個字首分別遞迴搜尋找各個字首對應的頻繁序列。如下圖所示，每個字首對應的字尾也標出來了。由於g只在序列4出現，支援度計數只有1，因此無法繼續挖掘。我們的長度為1的頻繁序列為<a>, <b>, <c>, <d>, <e>，<f>。去除所有序列中的g，即第4條記錄變成<e(af)cbc>
現在我們開始挖掘頻繁序列,分別從長度為1的字首開始。這裡我們以d為例子來遞迴挖掘，其他的節點遞迴挖掘方法和Ｄ一樣。方法如下圖，首先我們對ｄ的字尾進行計數，得到{a:1, b:2, c:3, d:0, e:1, f:1，_f:1}。注意f和_f是不一樣的，因為前者是在和字首d不同的項集，而後者是和字首d同項集。由於此時a,d,e,f,_f都達不到支援度閾值，因此我們遞迴得到的字首為d的2項頻繁序列為<db>和<dc>。接著我們分別遞迴db和dc為字首所對應的投影序列。首先看db字首，此時對應的投影后綴只有<_c(ae)>,此時_c,a,e支援度均達不到閾值，因此無法找到以db為字首的頻繁序列。現在我們來遞迴另外一個字首dc。以dc為字首的投影序列為<_f>, <(bc)(ae)>, <b>，此時我們進行支援度計數，結果為{b:2, a:1, c:1, e:1, _f:1}，只有b滿足支援度閾值，因此我們得到字首為dc的三項頻繁序列為<dcb>。我們繼續遞迴以<dcb>為字首的頻繁序列。由於字首<dcb>對應的投影序列<(_c)ae>支援度全部不達標，因此不能產生4項頻繁序列。至此以d為字首的頻繁序列挖掘結束，產生的頻繁序列為<d><db><dc><dcb>。
同樣的方法可以得到其他以<a>, <b>, <c>, <e>, <f>為字首的頻繁序列。
5. PrefixSpan演算法流程
下面我們對PrefixSpan演算法的流程做一個歸納總結。
輸入：序列資料集S和支援度閾值$\alpha$
輸出：所有滿足支援度要求的頻繁序列集
1）找出所有長度為1的字首和對應的投影資料庫
2）對長度為1的字首進行計數，將支援度低於閾值$\alpha$的字首對應的項從資料集S刪除，同時得到所有的頻繁1項序列，i=1.
3）對於每個長度為i滿足支援度要求的字首進行遞迴挖掘：
a) 找出字首所對應的投影資料庫。如果投影資料庫為空，則遞迴返回。
b) 統計對應投影資料庫中各項的支援度計數。如果所有項的支援度計數都低於閾值$\alpha$，則遞迴返回。
c) 將滿足支援度計數的各個單項和當前的字首進行合併，得到若干新的字首。
d) 令i=i+1，字首為合併單項後的各個字首，分別遞迴執行第3步。
6. PrefixSpan演算法小結
PrefixSpan演算法由於不用產生候選序列，且投影資料庫縮小的很快，記憶體消耗比較穩定，作頻繁序列模式挖掘的時候效果很高。比起其他的序列挖掘演算法比如GSP,FreeSpan有較大優勢，因此是在生產環境常用的演算法。
PrefixSpan執行時最大的消耗在遞迴的構造投影資料庫。如果序列資料集較大，項數種類較多時，演算法執行速度會有明顯下降。因此有一些PrefixSpan的改進版演算法都是在優化構造投影資料庫這一塊。比如使用偽投影計數。
當然使用大資料平臺的分散式計算能力也是加快PrefixSpan執行速度一個好辦法。比如Spark的MLlib就內建了PrefixSpan演算法。
不過scikit-learn始終不太重視關聯演算法，一直都不包括這一塊的演算法整合，這就有點落伍了。
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