圖的演算法的總結

圖的定義：
   很簡單，G(V,E)， V、E分別表示點和邊的集合。

圖的表示：
       主要有兩種，鄰接矩陣和鄰接表，前者空間複雜度，O(V²），後者為O(V+E)。因此，除非非常稠密的圖(邊非常多），一般後者優越於前者。

圖的遍歷：
       寬度遍歷BFS(start):    (1) 佇列Q=Empty，陣列bool visited[V]={false...}. Q.push(start);
                                             (2) while (!Q.empty()){
                                                       u = Q.pop(); visited[u] = true; //遍歷u結點
                                                       foreach (u的每一個鄰接結點v) Q.push(v);
                                                    }
       深度遍歷DFS(start):     (1) 棧S=Empty, 陣列bool visited[V]={false...}. S.push(start);
                                               (2) while (!S.empty()){
                                                       u = S.pop();
                                                       if (!visited[u]) visited[u] = true; //遍歷u結點
                                                       foreach (u的每一個鄰接結點v) S.push(v);
                                                    }
   初看之下兩個演算法很相似，主要區別在於一個使用佇列，一個使用棧，最終導致了遍歷的順序截然不同。佇列是先入先出，所以訪問u以後接下來就訪問u中未訪問過的鄰接結點；而棧的後進先出，當訪問u後，壓入了u的鄰接結點，在後面的迴圈中，首先訪問u的第一個臨接點v，接下來又將v的鄰接點w壓入S，這樣接下來要訪問的自然是w了。

最小生成樹：
       (1)Prime演算法:    (1) 集合MST=T=Empty，選取G中一結點u，T.add(u)
                                  (2) 迴圈|V|-1次：
                                        選取一條這樣的邊e=min{(x,y) | x in T, y in V/T}
                                        T.add(y); MST.add(e);
                                  (3) MST即為所求
   (2) Kruskal演算法   (1) 將G中所有的邊排序並放入集合H中，初始化集合MST=Empty,初始化不相交集合T={{v1}, {v2}...}}，也即T中每個點為一個集合。
                                    (2) 依次取H中的最短邊e(u,v)，如果Find-Set(u)!=Find-Set(v)（也即u、v是否已經在一棵樹中），那麼Union(u,v) （即u,v合併為一個集合)，MST.add(e);
                                    (3) MST即為所求

   這兩個演算法都是貪心演算法，區別在於每次選取邊的策略。證明該演算法的關鍵在於一點：如果MST是圖G的最小生成樹，那麼在子圖G'中包含的子生成樹MST' 也必然是G'的最小生成樹。這個很容易反正，假設不成立，那麼G'有一棵權重和更小的生成樹，用它替換掉MST'，那麼對於G我們就找到了比MST更小的生成樹，顯然這與我們的假設(MST是最小生成樹)矛盾了。
       理解了這個關鍵點，演算法的正確性就好理解多了。對於Prime，T於V/T兩個點集都會各自有一棵生成樹，最後要連起來構成一棵大的生成樹，那麼顯然要選兩者之間的最短的那條邊了。對於Kruskal演算法，如果當前選取的邊沒有引起環路，那麼正確性是顯然的（對給定點集依次選最小的邊構成一棵樹當然是最小生成樹了），如果導致了環路，那麼說明兩個點都在該點集裡，由於已經構成了樹（否則也不可能導致環路）並且一直都是挑盡可能小的，所以肯定是最小生成樹。

最短路徑:
       這裡的演算法基本是基於動態規劃和貪心演算法的，經典演算法有很多個，主要區別在於：有的是通用的，有的是針對某一類圖的，例如，無負環的圖，或者無負權邊的圖等。
   單源最短路徑（1）通用（Bellman-Ford演算法）：
                               （2）無負權邊的圖(Dijkstra演算法)：
                               （3）無環有向圖(DAG) ：
       所有結點間最短路徑：
   （1） Floyd-Warshall演算法：
   （2） Johnson演算法：

圖的演算法的總結

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