[TOC]
1. 感知機原理
感知機是二分類的線性分類模型，本質上想找到一條直線或者分離超平面對資料進行線性劃分
- 適用於線性可分的資料集，否則感知機不會收斂
假設有一個資料集$D = {(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}$，其中$x_i \in Rn$，即$x_i = (x_i{(1)}, x_i^{(2)}, ...x_i^{(n)})$
- 模型的輸入為例項的特徵向量$x_i$，輸出為例項的類別，取值為+1（正例）或者-1（負例）
- 我們希望找到一個分離超平面$wTx + b = 0，其中w \in Rn$，使得有滿足$wTx + b > 0$的例項所對應的類別為正例。而使得滿足$wTx + b < 0$的例項所對應的類別為負例。
於是我們可以構建出感知機模型為：\(f(x) = sign(w^Tx + b)\)
2. 損失函式
定義損失函式一個很自然的想法是建立在誤分類點的個數上，但是使用誤分類點的個數來構造損失函式並不容易優化
- 因此使用誤分類點到分離超平面的總距離來構造損失函式
記M為誤分類點的集合，誤分類點到分離超平面的總距離為： \(L(w, b) = \sum_{x_i \in M}\frac{| w^Tx_i + b |}{\parallel w \parallel}\)
不考慮$\frac{1}{\parallel w \parallel}$（因為上式中，分子和分母有固定倍數的關係），並且去掉絕對值，就可以得到感知機的損失函式為： \(L(w, b) = \sum_{x_i \in M} -y_i (w^Tx_i + b)\) 此時對於誤分類點，$-y_i (w^Tx_i + b) > 0$成立
3. 優化方法
此時感知機演算法就轉變為，求解引數$w, b$，使得損失函式極小化，即 \(\underset {w, b}{\arg \min L(w, b)} = \underset {w, b}{\arg \min} \sum_{x_i \in M} -y_i (w^Tx_i + b)\)
因為只有對誤分類點才會對損失函式進行優化，因此感知機的優化採用隨機梯度下降法（SGD），而非使用所有樣本的批量隨機梯度下降法（BGD）
損失函式$L(w, b)$的梯度為： \(\frac{\partial L(w, b)}{\partial w} = -\sum_{x_i \in M} y_i x_i\) \(\frac{\partial L(w, b)}{\partial b} = -\sum_{x_i \in M} y_i\)
對於SGD，選取一個誤分類點進行更新，即有： \(w_{t+1} = w_t + \alpha y_ix_i\) \(b_{t+1} = b_t + \alpha y_i\)
4. 感知機的原始演算法
訓練集包括N個樣例，樣本中包含n個特徵，標記為二分類取值為-1或者+1
- 輸入的樣例：\({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}\)，學習率：\(\alpha\)
- 輸出分離超平面的係數w, b
演算法執行步驟如下：
- 初始化w, b以及學習率$\alpha$
- 在訓練集選取資料$(x_i, y_i)$
- 如果滿足$-y_i(sign(w^Tx_i + b)) > 0$，則 \(w_{t+1} = w_t + \alpha y_i x_i\) \(b_{t+1} = b_t + \alpha y_i\)
- 轉至2，直到訓練集中沒有誤分類點
5. 感知機的對偶演算法
對偶形式的基本想法是，將$w$和$b$表示為例項$x_i$和標記$y_i$的線性組合的形式，通過求解它的係數來求解$w$和$b$
假設初始值$w_0$和$b_0$都為0，因此$w$和$b$可以表示成$x_iy_i$和$y_i$的增量形式，即原始形式可以化成：
\(w_{t+1} = \sum_{i=1}^{N}\beta_i y_i x_i\)
\(b_{t+1} = \sum_{i=1}^N \beta_i y_i\)
其中，\(\beta_i = n_i \alpha\)，$n_i$表示第$i$個例項$x_i$更新的次數
此時，模型轉變為
\(f(x) = sign(\sum_{j=1}^N \beta_j x_j y_j x + b)\)
訓練集包括N個樣例，樣本中包含n個特徵，標記為二分類取值為-1或者+1
- 輸入的樣例：\({(x_1, y_1), (x_2, y_2), ..., (x_N, y_N)}\)，學習率：\(\alpha\)
- 輸出分離超平面的係數$\beta$, b
演算法執行步驟如下：
- 初始化$\beta$, b以及學習率$\alpha$
- 在訓練集選取資料$(x_i, y_i)$
- 如果滿足$y_i(sign(\sum_^N \beta_j y_j x_j x_i + b)) ⇐ 0$，則 $$\beta_j(t+1) = \beta_j(t) + \alpha $$ \(b_{t+1} = b_t + \alpha y_i\)
- 轉至2，直到訓練集中沒有誤分類點
其中，訓練例項可以通過計算Gram矩陣（即$x_i$和$x_j$的內積組成的矩陣）的形式來儲存
6. 從圖形中理解感知機的原始演算法
為了方便說明，記$\hat w = (w, b)\(，\)\hat x = (x, 1)$，則感知機模型可以變為： \(f(x) = sign(\hat w^T \hat x)\)
之前我們說明了，只有誤分類點才會對$\hat w$進行更新。因此，考慮以下兩種情況：
真實類別為y=+1, 但是模型的輸出為-1
- 考慮到$\hat w^T \hat x = |\hat w||\hat x|cos\theta$
- 對於真實類別，我們希望說明$\hat wT \hat x > 0$，即$\hat w$和$\hat x$的夾角越小越好，而模型的輸出有$\hat wT \hat x < 0$，則說明$\hat w$和$\hat x$的夾角過大
- 因此，我們可以通過減少$\hat w$和$\hat x$的夾角來達到目的，即有$\hat w(t+1) = \hat w(t) + \hat x(t)$（對應著$w_{t+1} = w_t + \alpha y_i x_i$，且$\alpha = 1$的情況）
- \(y_i \hat w_{t+1}^T \hat x_i = y_i \hat w_t^T \hat x_i + y_i \parallel \hat x_i \parallel \geq y_i \hat w_t^T \hat x_i\)
真實類別為y=-1, 但是模型的輸出為+1
- 考慮到$\hat w^T \hat x = |\hat w||\hat x|cos\theta$
- 對於真實類別，我們希望說明$\hat wT \hat x < 0$，即$\hat w$和$\hat x$的夾角越大越好，而模型的輸出有$\hat wT \hat x > 0$，則說明$\hat w$和$\hat x$的夾角過小
- 因此，我們可以通過增大$\hat w$和$\hat x$的夾角來達到目的，即有$\hat w(t+1) = \hat w(t) - \hat x(t)$（對應著$w_{t+1} = w_t - \alpha y_i x_i$，且$\alpha$ = 1的情況）
- \(y_i \hat w_{t+1}^T \hat x_i = y_i \hat w_t^T \hat x_i - y_i \parallel \hat x_i \parallel = y_i \hat w_t^T \hat x_i + \parallel \hat x_i \parallel \geq y_i \hat w_t^T \hat x_i\)
其實，無論對於誤分類的情況1還是情況2，總有$y_i \hat w_{t+1}T \hat x_i = \geq y_i \hat w_tT \hat x_i$，因為$y_i \hat w_t^T \hat x_i$的符號代表是否分類正確，大小代表分類超平面是否將其“分得很開”，上面的不等式說明了，對於某個誤分類點來說，更新後要比更新前要好，演算法PLA對該誤分類點“學習”了。
7. 感知機演算法(PLA)的收斂性
對於線性可分的資料集，總能找到一個或者多個分類超平面能將該資料集劃分，這表明了PLA的收斂性。
- 這部分主要參考林軒田的《機器學習基石》，個人覺得講得要比李航的《統計學習方法》要清晰，雖然證明本質上是一樣的
說明兩個向量的相似性有很多方法，其中計算兩個向量的內積是一種方法。當內積越大，表明兩個向量越相似。當然，這需要考慮向量的長度，當模長越大時，向量的內積也會越來越大。
- 符號說明：$w_f$代表真實的w，$w_t$代表我們找到的w，這裡為了符號簡潔些，不記成$\hat w$，但是含義一樣，即$w_f$和$w_t$裡面包含$b$，記學習率$\alpha = 1$
先討論$w_f$和$w_t$的內積，$w_0$為0向量 \begin \begin w_fT w_t & = w_fT(w_ + y_ix_i) \\ & = w_fT w_ + y_i w_fT x_i \\ & \geq w_f w_ + \underset (y_i w_fT x_i) \\ & \geq w_f w_0 + t \underset (y_i w_fT x_i) \\ & = t \underset (y_i w_f^T x_i) \end \end
討論$w_f$和$w_t$的模長，由於只有誤分類點才更新，所以有$y_i w_T x_i \leq 0$ \begin \begin \parallel w_t \parallel2 & = \parallel w_ + y_ix_i \parallel2 \\ &= \parallel w_ \parallel2 + 2y_i w_T x_i + \parallel y_ix_i \parallel2 \\ & \leq \parallel w_ \parallel2 + \parallel x_i \parallel2 \\ & \leq \parallel w_ \parallel2 + \underset \parallel x_i \parallel2 \\ & \leq \parallel w_{0} \parallel2 + t \underset \parallel x_i \parallel2 \\ & = t \underset \parallel x_i \parallel^2 \end \end
討論$w_f$和$w_t$的角度 \begin \begin 1 \geq cos \theta = \frac{w_fT w_t}{\parallel w_f \parallel \parallel w_t \parallel} & \geq \frac{t \underset (y_i w_fT x_i)}{\parallel w_f \parallel \sqrt{t \underset \parallel x_i \parallel2}} \\ & = \frac{\sqrt \underset (y_i w_fT x_i)}{\parallel w_f \parallel \sqrt{\underset \parallel x_i \parallel^2}} \end \end
化解得到t的關係式 \(t \leq \frac{\parallel w_f \parallel^2 \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2}{\underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)^2} = \frac{R^2}{\rho^2}\) 其中，\(R^2 = \underset {i} {max} \parallel x_i \parallel^2, \rho = \frac{\underset {i} {min} (y_i w_f^T x_i)}{\parallel w_f \parallel}\)
由上述不等式說明了，更新次數是有上限的，這也就證明了收斂性
8. 應用場景與缺陷
- 感知機僅限於資料線性可分的情況，對於線性不可分的情況，該演算法不收斂。
- 感知機的收斂步數受兩類別之間間隔的影響。間隔越小，收斂的步數越大。
9. 其他
從感知機的分類原理中，可以看出滿足條件的超平面並不止一個，不同的超平面依賴於引數的初始值。也就是說感知機模型可以有多個解。
- 泛化能力最好的決策超平面
- 能夠將兩個型別的樣本分開
- 能夠最大化決策邊界附近的兩型別之間的距離
當然，感知機也是神經網路的重要基礎，因此也可以從神經網路的角度來說明
10. 參考資料
- 李航《統計學習方法》
- 林軒田《機器學習基石》