[動態規劃] 五、三角形的最小路徑和

題目

   2
  3 4
 6 5 7
4 1 8 3

如上所示，以上三角形由一連串的數字構成，要求從頂點 2 開始走到最底下邊的最短路徑，
每次只能向當前節點下面的兩個節點走，如 3 可以向 6 或 5 走，不能直接走到 7。
條件
三角形：一連串數字組成（用二維陣列儲存）
限制：只能向當前節點的下面兩個節點走

動態規劃問題建模階段

設三角形值為 value[ [2], [3,4], [6,5,7], [4,1,8,3] ]

底層      |   4   1   8   3
倒數第2層 |   7   6   10
倒數第3層 |   9  10
頂層      |  11

規律：
底層：一開始都是最小
倒數第二層：min(6+4, 6+1)=7、min(5+1, 5+8)=6、min(7+8,7+3)=10
倒數第三層：min(3+7, 3+6)=9、min(4+6, 4+10)=10
頂層：min(2+9, 2+10)=11

由此可見，只需要儲存前面的最小路徑數，就可推出後面的最小路徑數

動態規劃三個重要的概念

最優子結構：
由於有兩種走法，所以2往下走有兩種方案（選最小值）
2往下走 = min( 2+3, 2+4 )
邊界：
最底層 4,1,8,3 是最小的
轉態轉移公式：
d[i,j] = min(d[i+1,j], d[i+1,j+1]) + value[i,j]
(例：d[2,0] = min(d[3,0],d[3,1]) + value[2,0]，即 d[2,0]=min(4,1)+6=7)

動態規劃求解問題階段

<?php

namespace app\index\controller;

// 動態規劃求解問題階段：
class Index
{
    /**
     * 動態規劃（Dynamic Programming）
     * 時間複雜度：O(n)
     * 空間複雜度：O(n)
     */
    public function test()
    {
        $value = [
            [2],
            [3,4],
            [6,5,7],
            [4,1,8,3]
        ];

        $value_len = count($value);         // 三角形的層數
        $min       = $value[$value_len-1];  // 初始值為陣列底層值

        // 迴圈三角形陣列，自底向上，從倒數第二層開始
        for ($i = $value_len - 2; $i >= 0; $i--) {

            $sub_len = count($value[$i]);   // 每層的長度

            // 迴圈每層的數字，從左到右
            for ($j = 0; $j < $sub_len; $j++) {
                $min[$j] = min($min[$j], $min[$j + 1]) + $value[$i][$j];
            }
        }
        echo $min[0];
    }
}

參考：動態規劃

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