三角形最小路徑和

peterzh6發表於2024-04-27

題源：IOI飛入尋常百姓家

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [[0] * (i + 1) for i in range(n)]

        dp[0][0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            dp[i][0] = dp[i - 1][0] + triangle[i][0]
            dp[i][i] = dp[i - 1][i - 1] + triangle[i][i]

            for j in range(1, i):
                dp[i][j] = min(dp[i - 1][j - 1], dp[i - 1][j]) + triangle[i][j]

        return min(dp[n - 1])

狀態轉移方程dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j]) + triangle[i][j]，非常的直觀，但是需要主要邊界條件需要注意，即dp[i][0]和dp[i][i]的取值是固定的，需要在進行每一層的dp之前/後額外寫程式碼完成初始化，以免出現邊界條件問題

最佳化成空間複雜度O(N)的方法：

只需要維護兩行的狀態，而不是整個三角形的狀態。我們可以使用兩個一維陣列，分別表示當前行和上一行的狀態

class Solution:
    def minimumTotal(self, triangle: List[List[int]]) -> int:
        n = len(triangle)
        dp = [0] * n

        dp[0] = triangle[0][0]

        for i in range(1, n):
            dp[i] = dp[i - 1] + triangle[i][i]  # 更新最右側元素

            for j in range(i - 1, 0, -1):
                dp[j] = min(dp[j - 1], dp[j]) + triangle[i][j]

            dp[0] = dp[0] + triangle[i][0]  # 更新最左側元素

        return min(dp)

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