幽夜默示錄 Turorial

幽夜默示錄解析

沒有愛就看不見

P1

直接構造前件為真，後件為假的情況即可。比如可令\(P(x,y)\)永真、\(Q(x,y)\)永假。

P2

構造時滿足「對於任意的\(y\)」存在「不同的\(x\)」滿足\(P(x, y)\)即可。比如

\[P = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right) \]

P3

注意到如下等價轉換

\[\neg \exists x(\neg P(x) \land \neg Q(x)) \rightarrow \neg (\exists x (\neg P(x)) \land \exists x (\neg Q(x))) \tag 3 \\ \Leftrightarrow \exists x (\neg P(x)) \land \exists x (\neg Q(x)) \rightarrow \exists x(\neg P(x) \land \neg Q(x)) \\ \Leftrightarrow \neg \forall x P(x) \land \neg \forall x Q(x) \rightarrow \neg \forall x (P(x) \lor Q(x)) \]

於是，構造並非永真的謂詞\(P(x), Q(x)\)，使得\(P(x) \lor Q(x)\)永真即可。不妨採用分割的辦法，把一個永真謂詞「拆」成\(P(x),Q(x)\)。比如

\[P = (1, 0, 0)\\ Q = (0, 1, 1) \]

P4

“哦？想不到這異世的土地上也能誕生出這麼有趣的遊戲呢。雖然遠比不上妾身的貓箱，卻也稱得上讓人眼前一亮。“黃金的魔女、無限的魔女貝阿朵莉切此刻正慵懶地躺在六軒島那氣派的莊園客廳裡柔軟舒適的沙發上。

那是一個玫瑰盛開的午後，多虧嘉音的悉心打理，園中的花朵開得燦爛極了。屋內，戰人和貝阿朵正饒有興致地看著這道來自異世的謎題。

“兩個小艾咪？哈哈，真不知道你是從哪弄來的題目，我的貝阿朵。”戰人笑得像個孩子。

“別忘了，妾身可是可怕的魔女呢！“貝阿朵一臉的得意。

複雜的事物往往有著極其簡單的核心，這道題也不例外。解決這道題最關鍵的一點在於，弄清\(R(x,w)\oplus R(z,y)\)有什麼性質。即然這道題只涉及主對角線，那我們首先討論\(R(x, y)\)在主對角線上具有的性質，然後再考慮如何構造式\((4.2)\)的反例。

關於\((4.1)\)式，首先考慮對於每個\(y\)，應滿足何種約束。

考慮\(y=s\)時的退化形式，如下\((4.1')\)式意味著什麼

\[\exists y\exists x \forall z \forall w \big( (R(x, z) \oplus R(w, y)) \lor y=z \big) \tag {4.1'} \]

分別取定\(z/w\)，列舉\(w/z\)可知，除\((x,y)\)處以外，所有的\(R(x,z), z=0, 1, 2, \cdots\)和所有的\(R(w, y), y = 0, 1, 2, \cdots\)分別相等，而\(R(x, z)\)和\(R(w, y)\)的值分別相反。於是得到：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

另一種情況省略，下同。

“十字排布？也不過如此嘛。嘖，比起你的環形密室還真是差得遠呢！”戰人一邊謝過沙音端來的咖啡，一邊吮著咖啡說道。

“這才剛開始呢，可不要輕敵啊我的戰人君。“無限的魔女輕聲勸誡著她的愛人。不過嘛，任誰都喜歡被誇，魔女也不例外，於是本該平淡的聲音裡出現了一絲笑意的波瀾。

我們取定\(y=s, x=t\)，這時，\((x,y)\)處的約束變為

\[\forall z \forall w \big( (R(x, z) \oplus R(w, y)) \lor y=z \lor x=w \big) \tag {4.1''} \]

這導致\(R\)在\((x, y)\)處的真值可以任意指定：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

(i). 考慮如果還有\(x_2 \neq x\)使得\(x_2, y\)也滿足\((4.1')\)式，那麼：

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & 0 & & \\ & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

此時，若繼續構造，使\(R\)滿足\((4.1)\)式，則出現如下情況：

\[R = \left(\begin{matrix} 1 & & 0 & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

無法滿足\((4.1)\)式。

(ii). 接著討論不存在上述\(x_2\)滿足條件的情況。考慮如果對於某個\(y_2 \neq y\)，也有\(x_2\)滿足\((4.1')\)式，可能有哪些情況：如果\(x_2 = t\)，那麼

\[R = \left(\begin{matrix} 0 & & 0 & & \\ 0 & & 0 & & \\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ 0 & & 0 & & \\ 0 & & 0 & & \\ \end{matrix}\right) \]

如果\(x_2 \neq t\)那麼

\[R = \left(\begin{matrix} & & 0 & & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\\ 1 & 1 & ? & 1 & 1 \\ & & 0 & & 1\\ & & 0 & & 1\\ \end{matrix}\right) \\ \]

注意到此時如果還有\(y_3 \neq y \land y_3 \neq y_2\)以及對應的\(x_3\)滿足\((4.1')\)式，則必有\(x_3 = t\)，因此\(R\)中至多有一列和一排\(1\)，其餘位置全\(0\)（當然，或者反過來）。

“啊唷！原來還有第二個十字啊……“樣貌俊朗的公子望著眼前的推理結果露出了驚訝的表情。

“哦我的小傻瓜，妾身剛剛說什麼來著？“魔女的話音帶著嫵媚，聽得戰人君不好意思地摸著後腦勺附和地笑起來。

考慮\(R\)在主對角線上的性質，顯然有：\(R\)在主對角線上可以有零或一或二個1，其餘全0（或反之）。顯然，即使有另外一組\(s,t\)使\((4.1)\)式為真，\(R\)也仍然滿足上述條件。不過似乎s和t至多隻能有一組

\[R_0 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & \\ & 0 & & & \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ & & & 0 & \\ & & & & 0 \\ \end{matrix}\right), R_1 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & \\ & 0 & & & \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ & & & 0 & \\ & & & & 0 \\ \end{matrix}\right), R_2 = \left(\begin{matrix} 0 & & & & 1 \\ & 0 & & & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ & & & 0 & 1 \\ & & & & 1 \\ \end{matrix}\right) \]

得到\(R(x,y)\)在對角線上的性質後，我們分析式\((4.2)\)。構造輔助謂詞\(Q(x) = P(x, x) \oplus R(x, x)\)，注意到如下等價關係：

\[\begin{aligned} &\forall x \forall y \big( P(x, x) \oplus R(x, x) \oplus P(y, y) \oplus R(y, y) \oplus 1 \big)\\ \Leftrightarrow & \forall x \forall y \big( Q(x) \oplus Q(y) \oplus 1 \big) \\ \Leftrightarrow & \forall x \forall y \neg \big( Q(x) \oplus Q(y) \big)\\ \Leftrightarrow & \neg \exists x \exists y \big( Q(x) \oplus Q(y) \big) \end{aligned} \tag {4.2} \]

因此，只需構造\(P(x, y)\)使其對任意\(R(x, y)\)均滿足\(\exists x \exists y \big(Q(x) \oplus Q(y)\big)\)即可。

考慮\(\oplus R(x, y)\)對\(P(x, x)\)的影響，由\(R(x, y)\)在主對角線上的性質可知，\(\oplus R(x, y)\)這一操作會使\(P(x, y)\)中的零或一或二個主對角線元素髮生翻轉或留下零或一或二個主對角線元素不發生翻轉。

而要使得\(\exists x \exists y \big(Q(x) \oplus Q(y)\big)\)，就要保證翻轉後的主對角線上同時有\(0\)和\(1\)。顯然，這要求\(P(x, y)\)的主對角線上，\(0\)和\(1\)各至少有三個，因此最低階數為「六」。

“將軍！“貝阿朵莉切滿意地放下端著的咖啡，靠在了戰人的肩上。戰人便輕輕將身旁這位魔女摟住，二人一起享受著這午後的寧靜。

忽得，一陣“哈”“哈”的怪響隔著樓板傳了過來，原來是嘉音和沙音又在和真理亞小姐玩裝死遊戲，弄得一旁的管家源次先生也不知怎樣才好了呢。

夕陽斜照，海貓群飛，六軒島上一片祥和。

--THE END--