[題解]P4597 序列 sequence

P4597 序列 sequence
是CF13C Sequence的加強版，\(N\leq 5*10^5\)。

如果想了解\(O(N^2)\)的DP解法請看此文。

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給定\(N\)個數，每次操作可以選其中一個數\(+1\)或\(-1\)。請問要讓這個數列不降，最少需要多少次操作？

看到資料範圍發現不能用\(O(N^2)\)的dp了，需要換一種思路。

我們用類似貪心的方法做，從左往右找\(i<j,a_i>a_j\)（注意\(i,j\)不一定連續，後面就懂了），然後對它們的值進行上調下調。

如上圖，我們發現\(10\to 1\)不滿足“不降”，需要進行調整。我們想到在\([1,10]\)中找到一箇中間點，把這\(2\)個數都移動到中間點。而無論中間點是幾，這一操作代價都為\(10-1=9\)。那麼我們為了讓操作次數儘可能小，我們應該儘可能讓中間點往下，即移動到\(1\)。

總結：如果遇到\(x\)在\(y\)後面，而\(x>y\)，我們需要把\(y\)下移到\(x\)的位置。從左到右遍歷每條邊，重複上述操作即可。

大家可能會有疑惑：如果\(y\)前面的\(z\)，滿足\(x<z<y\)，如果把\(y\)下移到\(x\)，就會破壞前面的“不降”：

• 如果\(z\)後面又遇到一個值\(a_i<a_{i-1}\)，而它之前的最小值正是\(z\)，它就會把\(z\)壓下去。
  但如下圖，我們又發現，\(z\)下調後，後邊又不滿足不降，此時就把\(x\)作為\(z\)迴圈上面的步驟。
  

• 如果\(z\)後面沒有更低的值，則說明\(y\)沒必要降到\(x\)，中間點可以上移到\(z\)也不會影響結果，但在此同時我們讓原序列合法了。而中間點只要在\([x,y]\)中間，消耗就相同，所以答案不受影響。
  

綜上，答案不會受下移的影響，儘管序列可能不滿足“不降”，但我們可以在消耗不變的情況下調整至滿足條件。

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接下來就是程式碼實現。為了維護前面的最大值，我們開一個優先佇列。
對於輸入的每一個\(x\)：
首先加入\(x\)。
如果遇到\(x<max\)，則\(ans+=max-x\)，然後\(max\)出佇列，加入下調後的高度\(x\)。

時間複雜度\(O(N\log N)\)。

雖然加強版空間限制從64MB提升到了125MB，但是這份程式碼可以過CF的原題，因為空間消耗只有\(\log N\)而已。

注意開long long。

點選檢視程式碼

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
priority_queue<int> q;
int n,x,ans;
signed main(){
	cin>>n;
	while(n--){
		cin>>x;
		q.push(x);
		if(x<q.top()){
			ans+=q.top()-x;
			q.pop();
			q.push(x);
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}