括號深度的本質，其實就是刪除若干個字元以後使得左邊一半全是 (，右邊一半全是 )，最終 ( 的個數的最大值。
那麼就一定存在一個位置使得在這個位置以及之前的字元中 ( 的個數等於這個字元後 ) 的個數。
考慮列舉這個位置，記它左邊的 ( 的個數為 \(a\)、? 的個數為 \(x\)，右邊的 ) 的個數為 \(b\)、? 的個數為 \(y\)，那麼易得這個位置對答案的貢獻為：
\[\sum_{i=0}^x(i+a){x\choose i}{y\choose i+a-b}
\]
然後就可以透過這題的弱化版了。考慮把括號拆開，兩個分別算貢獻。對於第一部分：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^xi{x\choose i}{y\choose i+a-b}\\
=&\sum_{i=0}^xx{x-1\choose i-1}{y\choose i+a-b}\\
=&x\sum_{i=0}^x{x-1\choose i-1}{y\choose y-a+b-i}\\
=&x{x+y-1\choose y-a+b-1}
\end{aligned}
\]
對於第二部分：
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=0}^xa{x\choose i}{y\choose i+a-b}\\
=&a\sum_{i=0}^x{x\choose i}{y\choose y-a+b-i}\\
=&a{x+y\choose y-a+b}
\end{aligned}
\]
最後兩個求一下和就做完了，時間複雜度 \(\mathcal{O}(n)\)。