AT_abc216_g [ABC216G] 01Sequence 題解

harmis_yz發表於2024-03-07

分析

一道差分約束題。

我們令 \(\mathit{sum}_{i}\) 表示 \(1\) 到 \(i\) 中，\(1\) 的數量，根據題意可得：

  1. \(\mathit{sum}_{l_i-1}+x_i \le \mathit{sum}_{r_i}\)
  2. \(\mathit{sum}_{l+1} +(-1)\le \mathit{sum}_{l}\)
  3. \(\mathit{sum}_{l}+0 \le \mathit{sum}_{l+1}\)

因為我們要儘可能地使 \(1\) 的數量少，所以這是求不等式最小解。又因為邊權有負，所以我們要跑 spfa 來求解，程式碼如下：

//sum[l-1]+x<=sum[r]
//sum[l]<=sum[r]
//sum[r]+(-1)<=sum[l]
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#pragma G++ optimize(2)
int n,m;
const int N=1e6+10;
int ne[N],e[N],h[N],w[N],idx;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline void read(int &x) {
	x=0;
	short flag=true;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x*=flag;
}
int l,r,x;
int dis[N],vis[N];
inline void spfa(){
	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
	queue<int> qu;
	qu.push(0),dis[0]=0,vis[0]=1;
	while(!qu.empty()){
		int now=qu.front();
		qu.pop();
		vis[now]=0;
		for(int i=h[now];~i;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dis[j]<dis[now]+w[i]){
				dis[j]=dis[now]+w[i];
				if(!vis[j]){
					vis[j]=1;
					qu.push(j);
				}
			}
		}
	}
}
signed main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	read(n),read(m);
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		read(l),read(r),read(x);
		add(l-1,r,x);
	}
	for(register int i=0;i<n;i++){
		add(i,i+1,0);
		add(i+1,i,-1);
	}
	spfa();
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",dis[i]-dis[i-1]);//字首和
	}
	return 0;
}

很顯然，\(1 \le n,m \le 2 \times 10^5\)，超時了。

我們考慮最佳化方法，可以使用正難則反的思想。如果我們我們令 \(\mathit{sum'}_{i}\) 表示 表示 \(1\) 到 \(i\) 中，\(0\) 的數量，那麼再次根據題意就可以把上面的式子變成：

  1. \(\mathit{sum'}_{r_i}\le \mathit{sum'}_{l_i-1}+(r-l+1-x)\)
  2. \(\mathit{sum'}_{l+1} \le \mathit{sum'}_{l} +1\)
  3. \(\mathit{sum'}_{l} \le \mathit{sum'}_{l+1}+0\)

很顯然，在我們需要 \(1\) 的數量最少時，該不等式方程組的解就需要最大，而所有的權值又是非負的，所以可以用 dijkstra 求出最短路。注意，求得的解是關於 \(\mathit{sum'}_{i}\) 的，所以我們需要進行取反。

程式碼

//sum[r]<=sum[l-1]+r-l+1-x
//sum[l]<=sum[l-1]+1
//sum[l-1]<=sum[l]+0
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#pragma G++ optimize(2)
#define PII pair<int,int>
#define x first
#define y second
int n,m;
const int N=1e6+10;
int ne[N],e[N],h[N],w[N],idx;
inline void add(int a,int b,int c){
	e[idx]=b,w[idx]=c,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
inline void read(int &x) {
	x=0;
	short flag=true;
	char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-') flag=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);ch=getchar();}
	x*=flag;
}
int l,r,x;
int dis[N],vis[N];
//inline void spfa() TLE
//	memset(dis,-0x3f,sizeof(dis));
//	queue<int> qu;
//	qu.push(0),dis[0]=0,vis[0]=1;
//	while(!qu.empty()){
//		int now=qu.front();
//		qu.pop();
//		vis[now]=0;
//		for(int i=h[now];~i;i=ne[i]){
//			int j=e[i];
//			if(dis[j]<dis[now]+w[i]){
//				dis[j]=dis[now]+w[i];
//				if(!vis[j]){
//					vis[j]=1;
//					qu.push(j);
//				}
//			}
//		}
//	}
//}
void dj(){
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	priority_queue<PII,vector<PII>,greater<PII> > qu;
	dis[0]=0,qu.push({dis[0],0});
	while(!qu.empty()){
		PII now=qu.top();qu.pop();
		if(vis[now.y]) continue;
		vis[now.y]=1;
		for(int i=h[now.y];~i;i=ne[i]){
			int j=e[i];
			if(dis[j]>now.x+w[i]){
				dis[j]=now.x+w[i];
				qu.push({dis[j],j});
			}
		}
	}
}
signed main(){
	memset(h,-1,sizeof(h));
	read(n),read(m);
	for(register int i=1;i<=m;i++){
		read(l),read(r),read(x);
        //add(l-1,r,x);
		add(l-1,r,r-l+1-x);
	}
	for(register int i=0;i<n;i++){
		//add(i,i+1,0);
		//add(i+1,i,-1);
        add(i,i+1,1);
		add(i+1,i,0);
	}
    //spfa();
	dj();
	for(register int i=1;i<=n;i++){
		printf("%lld ",(dis[i]-dis[i-1]==1?0:1));//取反，也可以用位運算
	}
	return 0;
}

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