括號序列
題目描述
我們用以下規則定義一個合法的括號序列：
（1）空序列是合法的
（2）假如 \(S\) 是一個合法的序列，則 \((S)\) 和 \([S]\) 都是合法的
（3）假如 \(A\) 和 \(B\) 都是合法的，那麼 \(AB\) 和 \(BA\) 也是合法的
例如以下是合法的括號序列：(), [], (()), ([]), ()[], ()[()]。
以下是不合法括號序列的：(, [, ], )(, (][), ([()。
現在給定一些由 (, ), [, ] 構成的序列 ，請新增儘量少的括號，得到一個合法的括號序列。
輸入格式
輸入一行括號序列 \(S\)，只包含四種字元： (,),[,]） ，都放在一行，中間沒有其他多餘字元。
輸出格式
輸出一個整數，表示使括號序列 \(S\) 成為合法序列需要新增最少的括號數量。
樣例
輸入資料#1
([()
輸出資料#1
2
解釋#1
最少新增 \(2\) 個括號可以得到合法的序列：()[()] 或 ([()])。
資料範圍
- 對於 \(10\%\) 的測試資料，\(S\) 的長度 \(≤10\)
- 另有 \(20\%\) 的測試資料，\(S\) 中僅含有左括號
(和[ - 另有 \(20\%\) 的測試資料，\(S\) 中僅含有小括號
(和) - 對於 \(100\%\) 的測試資料，\(S\) 的長度 \(≤500\)
思路分析
區間 dp 板子題。
定義 \(f_{i,j}\) 表示使區間 \((i,j)\) 成為合法序列需要新增最少的括號數量，進行狀態轉移。
先按區間長度從小到大列舉區間，再根據題中的 \((2)(3)\) 兩點進行轉移：
-
由 \((2)\)，若 \(s\) 合法，則 \((s)\) 和 \([s]\) 均合法，所以若區間 \((i,j)\) 的兩個端點 \(i\) 和 \(j\) 是一對括號，則 \(f_{i,j}\) 可以是 \(f_{i+1,j-1}\)，注意只有當 \(i,j\) 合法時才可以這樣轉移。
即
\[f_{i,j}=f_{i+1,j-1} \] -
由 \((3)\)，若 \(a\)，\(b\) 均合法，則 \(ab\)，\(ba\) 均合法，所以可以將區間 \((i,j)\) 分成兩個區間，記為 \((i,k)\) 和 \((k+1,j)\)，\(f_{i,j}\) 就是最小的 \(f_{i,k}+f_{k+1,j}\)，\(k\) 是區間 \((i,j)\) 內任意一點。
即
\[f_{i,j}=\min(f_{i,j},f_{i,k}+f_{k+1,j}) \ i\leq k\lt j \]
最後考慮初始值，\(f_{i,i}=1\)，\(f_{i,i-1}=0\)，其餘負 \(inf\)。
時間複雜度 \(O(|S|^3)\)，空間複雜度 \(O(|S|^2)\)。
\(\texttt{code}\)
/*Written by smx*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int MAXN=5e2+5,inf=1e18,mod=1e9+7;
string s;
int n;
int f[MAXN][MAXN];
signed main(){
//freopen(".in","r",stdin);
//freopen(".out","w",stdout);
ios::sync_with_stdio(false);
cin.tie(0);
cout.tie(0);
cin>>s;
n=s.size();
s=" "+s;
memset(f,0x3f,sizeof(f));
for(int i=1;i<=n;i++){
f[i][i]=1;
f[i][i-1]=0;
}
for(int len=1;len<=n;len++){
for(int i=1;i+len-1<=n;i++){
int j=i+len-1;
if(s[i]=='('&&s[j]==')'||s[i]=='['&&s[j]==']'){
f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]);
}
for(int k=i;k<j;k++){
f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]);
}
}
}
cout<<f[1][n];
return 0;
}