cf932E. Team Work(第二類斯特靈數 組合數)

自為風月馬前卒發表於2018-09-29

題意

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Sol

這篇題解寫的非常詳細

首先要知道第二類斯特靈數的一個性質

[m^n = sum_{i = 0}^m C_{n}^i S(n, i) i!]

證明可以考慮組合意義：(m^n)是把(n)個不同的球放到(m)個不同的盒子裡的方案數

然後用這個式子展開(i^k)，把組合數展開，會得到這樣一個式子

[sum_{i=1}^nfrac{n!}{(n-i)!}sum_{j=0}^ifrac{S(k,j)}{(i-j)!}]

發現不是很好搞，但是考慮到當(j > k)時(S(k, j) = 0)，於是可以先列舉(S(k, j))的貢獻

(sum_{j = 0}^n S(k, j) sum_{i = 1}^n frac{n!}{(n – i)!} frac{1}{(i – j)!})

把後面構造成組合數的形式

最終會得到

[sum_{j=0}^{k}S(k,j)frac{n!}{(n-j)!}2^{n-j}]

注意這裡的階乘是不能直接推的，可以維護化簡之後的結果。

然後就做完了。

經驗：

看到(i^k)想一想第二類斯特靈數

迴圈複雜度過高時考慮更換列舉順序

看到分子分母中有階乘時嘗試構造組合數

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN = 5001, mod = 1e9 + 7, inv2 = 500000004;
inline int read() {
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < `0` || c > `9`) {if(c == `-`) f = -1; c = getchar();}
    while(c >= `0` && c <= `9`) x = x * 10 + c - `0`, c = getchar();
    return x * f;
}
int N, K, s[MAXN][MAXN];
int fastpow(int a, int p) {
    int base = 1;
    while(p) {
        if(p & 1) base = 1ll * base * a % mod;
        a = 1ll * a * a % mod; p >>= 1;
    }
    return base;
}
int main() {
    s[0][0] = 1;
    cin >> N >> K;
    for(int i = 1; i <= K; i++)
        for(int j = 1; j <= K; j++)
            s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + 1ll * s[i - 1][j] * j % mod) % mod;
    int ans = 0, nv = 1, po2 = fastpow(2, N);
    for(int i = 0; i <= min(K, N); po2 = 1ll * po2 * inv2 % mod, nv = 1ll * nv * (N - i) % mod, i++)
        (ans += (1ll * s[K][i] * nv % mod * po2 % mod)) %= mod;
    cout << ans % mod;
    return 0;
}

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