序言
教練原話：“你已經學會組合數學了，快去做一下高考題吧！”
取得了 17/19 的好成績。其中有一題樹算錯了，不然就是 18/19 了。/cf/cf/cf。
P1
題目描述
由 \(0,1,2,3,4,5\) 可以組成的沒有重複數字的五位奇數的個數為？
解法
考慮末尾是奇數只有 \(1,3,5\) 三種情況，而且首位不能為 \(0\)，也就是說首位有 \(4\) 種情況。
中間的數隨便排，也就是 \(3!=24\)，把上述三種情況結合一下，\(3\times 4\times 24=288\)。
所以答案就是 \(288\) 個。
P2
題目描述
ABCDE 五個人站在一排，如果 AB 必須相鄰且 B 在 A 的右邊，求方案數。
解法
把 AB 看成一個組，那麼題目轉化為 \(4\) 個元素排列。
也就是 \(4!=24\) 種情況。
P3
題目描述
\(10\) 個相同的小球分到 \(7\) 個不同的盒子中，每個盒子至少分一個，求方案數。
解法
隔板法，原問題轉化為 \(10\) 個小球分成的 \(9\) 個空隙中插入 \(6\) 個板子，每種插板的方案對應了一種分配小球的方案。
答案也就是 \(C_9^6\)。
P4
題目描述
\(6\) 個人平均分成三組（每組兩個人），求方案數。
解法 1
對於每個組求情況。
對於第一組：六個人隨便選兩個，也就是 \(C_6^2\)；
對於第二組：剩下四個人隨便選兩個，也就是 \(C_4^2\)；
對於第三組：最後兩個人挑兩個，也就是沒得選了，\(C_2^2\)。
注意到產生了重複，例如 AB|CD|EF 和 AB|EF|CF 實質上是一樣的分法。注意到這種情況一共有 \(3!=6\) 種，那麼就把前面的東西乘起來除以 \(6\) 即可。
答案為 \(\dfrac{C_6^2\times C_4^2\times C_2^2}{A_3^3}=15\)。
解法 2
直接列舉六個人的全排列，再除掉非法情況。
答案為 \(\dfrac{6!}{2^3\times 3}=15\)。
P5
題目描述
\(6\) 個人平均分到不同的三組，每組兩個人，求方案數。
解法
和上面那題一個思路。
似乎更簡單了，直接考慮三個組分組情況，\(C_6^2\times C_4^2\times C_2^2=90\)。
P6
題目描述
\(6\) 個不同的求放進兩個不同的盒子，每個盒子最多裝 \(4\) 個球，求方案數。
解法 1
分類討論。
1.第一個盒子 \(4\) 個球，第二個盒子 \(2\) 個球。也就是 \(C_6^4=15\) 種方案。
2.第一個盒子 \(2\) 個球，第二個盒子 \(4\) 個球。同樣地，是 \(C_6^4=15\) 種方案。
3.第一個盒子 \(3\) 個球，第二個盒子 \(3\) 個球。也就是 \(C_6^3=20\) 種方案。
加起來，\(15+15+20=50\) 種方案。
解法 2
用所有合法的情況減去非法的情況。
\(2^6-A_2^2\times C_6^5-A_2^2\times C_6^6=50\)。
P7
題目描述
\(6\) 級樓梯，可以一步上一級，也可以一步上兩級，求方案數。
解法 1
遞推。斐波那契這麼弱智的玩意就不說了，手玩也可以。
解法 2
分類討論。
1.每次只跨一級：\(1\) 種走法。
2.有一次跨兩級，把這以此走的兩級綁在一起，也就剩下了 \(5\) 級，也就是 \(C_5^1=5\) 種走法。
3.有兩次跨兩級，把這兩次走的兩級綁在一起，也就剩下了 \(4\) 級，也就是 \(C_4^2=6\) 種走法。
4.有三次跨兩級，