[CF932E]Team Work

Tan_tan_tann發表於2020-10-05

Team Work

題解

數學題都貞德好討厭呀

開始推公式。

由於當n\leq k時可以直接用暴力O\left(n+k \right )做了，我們下面只考慮n>k的情況。

原式\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}i^k=\sum_{i=0}^{n}S(k,j)\binom{i}{j}j!=\sum_{j=i}^{k}S(k,j)j!\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\binom{i}{j}=\sum_{j=1}^{k}S(k,j)j!\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{j}\binom{n-j}{i-j}

=\sum_{j=1}^{k}S(k,j)j!\binom{n}{j}\sum_{i=0}^{n}\binom{n-j}{i-j}=\sum_{j=1}^{k}S(k,j)j!\binom{n}{j}2^{n-j}。

現在這個樣子其實可以直接用斯特林數做了，但我們還是先考慮將斯特林數展開一下

原式\small w=-\frac{1}{2}\small =\sum_{j=1}^{k}\binom{n}{j}2^{n-j}\sum_{i=1}^{j}\binom{j}{i}i^k(-1)^{j-i}=\sum_{i=1}^{k}i^k\sum_{j=i}^{k}\binom{n}{j}\binom{j}{i}(-1)^{j-i}2^{n-j}=\sum_{i=1}^{k}i^k\binom{n}{i}\sum_{j=i}^{k}\binom{n-i}{j-i}(-1)^{j-i}2^{n-j}

\small =\sum_{i=1}^{k}i^k\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}(-1)^j2^{n-i-j}=\sum_{i=1}^{k}i^k\binom{n}{i}\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}(-\frac{1}{2})^j

我們設\small w=-\frac{1}{2},\small f_{i}=\sum_{j=0}^{k-i}\binom{n-i}{j}w^j，也就是後面那一塊。

我們考慮通過線性遞推的方式處理\small f_{i}，計算\small f_{i}-f_{i+1}，可得，

\small f_{i}-f_{i+1}=\binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+\sum_{j=0}^{k-i-1}\binom{n-i-1}{j-1}w^{j}=\binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+\sum_{j=0}^{k-i-2}\binom{n-i-1}{j}w^j

\small =\binom{n-i}{k-i}w^{k-i}+w(f_{i+1}-\binom{n-i-1}{k-i-1}w^{k-i-1})=\binom{n-i-1}{k-i}w^{k-i}+wf_{i+1}

所以，得到遞推式\small f_{i}=\binom{n-i-1}{k-i}w^{k-i}+(w+1)f_{i+1}

我們只需要線性處理出組合數與\small f_{i}的值即可，時間複雜度\small O\left(k \right )，\small i^k也可以用埃篩的方式線性求出。

原始碼

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<map>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MAXN 5005
const double eps=1e-7;
const int INF=0x7f7f7f7f; 
const LL mo=1e9+7;
const int inv2=5e8+4;
typedef pair<int,int> pii;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x){return x<0?-x:x;}
template<typename _T>
void read(_T &x){
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0'){if(s=='-')f=-1;s=getchar();}
	while('0'<=s&&s<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();}
	x*=f;
}
int qkpow(int a,int s){
	int t=1;
	while(s){
		if(s&1)t=1ll*a*t%mo;
		a=1ll*a*a%mo;s>>=1;
	}
	return t;
}
int add(int x,int y){return x+y>=mo?x+y-mo:x+y;}
int n,k,f[MAXN],c[MAXN],inv[MAXN],pw[MAXN],prime[MAXN],cntp;
void init(){
	c[0]=inv[1]=pw[1]=1;c[1]=n;
	for(int i=2;i<=k+1;++i){
		inv[i]=1ll*(mo-mo/i)*inv[mo%i]%mo;
		c[i]=1ll*c[i-1]*inv[i]%mo*(n-i+1)%mo;
		if(!pw[i])prime[++cntp]=i,pw[i]=qkpow(i,k);
		for(int j=1;j<=cntp&&i*prime[j]<=k;++j){
			pw[i*prime[j]]=1ll*pw[i]*pw[prime[j]]%mo;
			if(i%prime[j]==0)break;
		}
	}
}
int work1(){
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		res=add(res,1ll*c[i]*pw[i]%mo);
	return res;	
}
int work2(){
	int mul,c2,res=0;mul=c2=f[k]=1;
	for(int i=k-1;i>0;--i){
		c2=1ll*c2*(n-i-1)%mo*inv[k-i]%mo;
		mul=1ll*mul*(mo-inv2)%mo;
		f[i]=add(1ll*c2*mul%mo,1ll*inv2*f[i+1]%mo);
	} 
	mul=inv2;
	for(int i=1;i<=k;++i){
		res=add(res,1ll*pw[i]*c[i]%mo*mul%mo*f[i]%mo);
		mul=1ll*mul*inv2%mo;
	}
	res=1ll*res*qkpow(2,n)%mo;
	return res;
}
signed main(){
	read(n);read(k);init();	
	if(n<=k+1)printf("%d\n",work1());
	else printf("%d\n",work2());
	return 0;
}

謝謝！！！

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