《Real-Time Rendering》第四章：變換

1. 一個變換是以某種方式轉換點，向量或顏色等實體的操作；
2. 一個線性變換是滿足向量加法和標量乘法的操作；
3. 縮放變換和旋轉變換都是線性變換；
4. 平移變換不是線性變換；
5. 線性變換和平移的組合可以使用一個仿射變換，通常用一個4x4矩陣儲存；
6. 一個方向向量表示為v=(vx vy vz 0)T，一個點表示為v=(vx vy vz 1)T；
7. 所有的平移，旋轉，縮放，鏡面反射和切變矩陣都是仿射的；
8. 放射矩陣的一個特點是它保持直線的平行，但不保持長度和角度；
9. 一個仿射變換可以是任意多個獨立的仿射變換的串聯；

4.1 基本變換

4.1.1 平移

詳見56頁...

4.1.2 旋轉

1. 和平移一樣，以座標軸旋轉是一個剛體變換，它保持頂點之間的距離，以及保持左右手習慣；
2. 其他詳見57頁...

4.1.3 縮放

詳見59頁...

4.1.4 切變

詳見60頁...

4.1.5 變換的串聯

1. 因為矩陣乘法不滿足交換律，所以矩陣的順序會影響結果；

4.1.6 剛體變換

1. 只有物體的朝向和位置改變，形狀不變，如一個只有平移和旋轉組合的變換，叫做剛體變換；
2. 剛體矩陣的形式和逆矩陣見62頁；

4.1.7 法線變換

一個單一矩陣可以一致的變換點，直線，多邊形和其他幾何體。同樣的矩陣也可以變換沿著直線或多邊形表面的切線。然而，這個矩陣不是都可以變換一個重要的幾何屬性，表面法向量。如圖4.5.

合適的方法是使用矩陣的伴隨矩陣的轉置矩陣，而不是乘以矩陣本身。伴隨矩陣通常是可以保證存在的。法線在變換後不保證是單位長度，因此一般需要正則化。

後面將了法線變換的一些簡化，詳見64頁...

4.1.8 逆矩陣的計算

1. 如果矩陣是一個單一矩陣或一系列給定引數的簡單矩陣，那麼逆矩陣可以簡單的“對引數取反”和調換矩陣順序。如M = T(t)R(φ)，那麼M−1 = R(−φ)T(−t)；
2. 如果矩陣是正交矩陣，則M−1 = MT，也就是說，轉置矩陣就是逆矩陣。任何旋轉序列都是一個旋轉，因此它是正交的；
3. 如果沒有任何特殊資訊可知，那麼就用伴隨矩陣的方法...

4.2 特殊的矩陣變換和操作

4.2.1 尤拉變換

1. 首先需要建立預設的觀察方向。大部分是面向負z軸方向，頭頂朝向y軸方向，如圖4.6；
2. 尤拉變換是三個矩陣相乘的結果，見公式4.17；
3. 改變head角相當於觀察者搖頭，改變pitch相當於他點頭，rolling相當於他把他的頭傾斜到一邊；
4. 經典萬惡的萬向鎖問題，在第67頁...

4.2.3 矩陣分解

1. 檢索平移矩陣很容易，我們只需要4x4矩陣的最後一列；
2. 我們可以通過檢查行列式是否為負，來判斷是否有映象矩陣；
3. 分離旋轉，縮放和切變需要更多努力，但有很多現成的程式碼...

4.2.4 以任意軸旋轉

1. 如我們要圍繞向量r旋轉，可以構建一個正交基座標系，以r為其中一個軸（如x軸），另外兩個軸見書上71頁；
2. 然後用三個正交基構建一個矩陣M；
3. 先乘以M，然後繞x軸旋轉α角，然後在乘以M的轉置矩陣，轉回來...

4.3 四元數

先略過...

4.4 頂點混合