計算兩豎直直線與橢圓圍成部分面積

橢圓方程 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)，直線 \(x=l\)，\(x=r\)，計算圖中藍色部分的面積。

定積分

為了找到這個藍色區域的面積，我們可以使用定積分來積分橢圓上半部分的函式，並在 \(x = l\) 和 \(x = r\) 之間計算面積，然後將結果翻倍，因為橢圓是關於x軸對稱的。

橢圓方程給出了 \(y\) 關於 \(x\) 的表示式：

\[y = \pm b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]

我們只需要上半部分的公式，即正的y值：

\[y = b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} \]

面積 \(A\) 可以透過計算 \(y\) 關於 \(x\) 的定積分來得到：

\[A = 2 \int_{l}^{r} b\sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}} , dx \]

這個積分可以透過變數代換來計算。我們可以設 \((x = a\sin(\theta))，因此 (dx = a\cos(\theta)d\theta)。當 (x = l) 時，(\theta = \arcsin(\frac{l}{a}))；當 (x = r) 時，(\theta = \arcsin(\frac{r}{a}))\)。

變數代換後，積分變為：

\[A = 2b \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \sqrt{1 - \sin^2(\theta)} , a\cos(\theta)d\theta \]

因為 \(\sqrt{1 - \sin^2(\theta)}) 是 (\cos(\theta)\)，這個積分可以簡化為：

\[A = 2ab \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \cos^2(\theta) , d\theta \]

我們可以使用倍角公式來簡化 \(\cos^2(\theta)\)：

\[\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} \]

替換到積分中得：

\[A = 2ab \int_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} , d\theta \]

分開積分：

\[A = ab \left[\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\arcsin(\frac{l}{a})}^{\arcsin(\frac{r}{a})} \]

最後將 \(\theta\) 的值代入得到：

\[A = ab \left[\arcsin(\frac{r}{a}) - \arcsin(\frac{l}{a}) + \frac{1}{2}\sin(2\arcsin(\frac{r}{a})) - \frac{1}{2}\sin(2\arcsin(\frac{l}{a}))\right] \]

注意，我們需要計算出 \((\sin(2\arcsin(\frac{r}{a}))) 和 (\sin(2\arcsin(\frac{l}{a})))\) 的值。這可以使用三角恆等式來計算，最後你可以得到一個表示式，它只包含 \(a, b, l, r\) 的值，這就是藍色區域的面積。需要注意的是，計算這些三角函式的過程可能相當複雜，可能需要額外的代數技巧來簡化。

割補法？

要計算圖中藍色部分的面積，我們需要計算從 \(x = l\) 到 \(x = r\) 的橢圓部分的面積。

首先，我們可以先計算橢圓的一個象限的完整面積，然後根據這個結果來計算所需的面積。

橢圓的一個象限面積是橢圓總面積的四分之一。橢圓的總面積由公式 \((A = \pi a b)\) 給出，其中 \((a)\) 是橢圓的半長軸，\(b\) 是橢圓的半短軸。所以，一個象限面積 \((A_{\text{象限}} = \frac{\pi a b}{4})\)。

接下來，我們需要計算直線 \(x = l\) 和 \(x = r\) 與橢圓的交點。由於直線垂直於x軸，我們可以直接將 \(x = l\) 和 \(x = r\) 代入橢圓方程來解出對應的 \(y\) 值。

對於 \(x = l\)，我們有：

\[\frac{l^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

解出 \(y\) 得：

\[y = \pm b \sqrt{1 - \frac{l^2}{a^2}} \]

\(y\)的正負值代表了橢圓在直線左側的上下兩點。

類似地，對於 \(x = r\)，我們有：

\[y = \pm b \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} \]

現在，我們需要計算從 \(x = l\) 到 \(x = r\) 的橢圓弓形的面積。我們可以透過計算相對應的扇形面積減去三角形面積來得到這個值。

橢圓弓形的面積 \(A_{\text{弓形}}\) 可以表示為橢圓的一個象限面積乘以橫座標所佔的角度比例再減去相應的三角形面積。如果定義 \(\theta_l\) 和 \(\theta_r\) 分別代表 (x = l) 和 (x = r) 時橢圓上點的角度，那麼弓形面積可以表示為：

\[A_{\text{弓形}} = \frac{\pi a b}{4} \left( \frac{\theta_r - \theta_l}{\pi/2} \right) - \text{三角形面積} \]

角度 \(\theta\) 可以透過反餘弦函式得到，即 \(\theta = \arccos(\frac{x}{a})\)。然後，使用這些角度來計算橢圓弓形的面積。

最後，我們需要兩次計算這個值，一次是對於上半部分的弓形，一次是對於下半部分的弓形，然後將兩者相加，以得到藍色封閉區域的總面積。注意，由於橢圓關於x軸對稱，這兩個弓形面積是相同的，因此我們可以計算一次弓形面積然後乘以2。

這是面積計算的一種方法。在實際操作中，可能需要藉助積分來直接計算弓形的面積，這涉及到比較複雜的數學運算。