橢圓曲線加法原理計算

公式定理

這裡我們僅考慮素域$F_p(p>3)$上的橢圓曲線，因為素域$F_p$的特徵不為2，3，所以素域$F_p$上的橢圓曲線E的$Weierstrass$方程可設為
$$E:y^2=x^3+a_{4}x+a_6$$

其判別式$\Delta =-16(4a_4^3+27a_6^2)\ne 0$，其在$F_p$上的運算規則如下：

設$P_1=(x_1,y_1)$，$P_2=(x_2,y_2)$，是曲線E上的兩個點，O為無窮遠點，則

• $O+P_1=P_1+O$

• $-P1=(x_1,-y_1)$

• 如果$P_3=(x_3,y_3)=P_1+P2\ne O$，
  

橢圓的階為
$$\#(E(F_p))=1+\sum _{x=0}^{p-1}(1+(\frac{x_3+a_{4}x+a_6}{p}))=p+1+\sum _{x=0}^{p-1}(\frac{x_3+a_{4}x+a_6}{p})$$

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以$F_{17}上的橢圓曲線E:y^2=x^3+2x+3$，為例

如何求解橢圓上所有的點？

遍歷$x=0,1,2,...,p-1$，求出所有的點，比如

$x=0，y^2=3(mod17)，此時無解$
$x=1，y^2=6(mod17)，此時無解$
$x=2，y^2=15(mod17)，y=7,8(mod17)$
$...$

如果根據已知點，求第三點

比如，已知$P=(2,7)和Q=(11,8)在橢圓E上，求解P+Q=(x_3,y_3)$

根據公式有 $\lambda =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{8-7}{11-2}=\frac{1}{9}$

這裡需要注意一下，$\lambda$在$F_{17}$中，所以實際上應該要求$\frac{1}{9}(mod17)$

那麼只需要知道如何求解分數的模即可，設 $a,b滿足ab\equiv 1(modp)$，那麼則有$a(modp)=b(modp)$

結合題目，所以我們只需要求出$a$滿足$9a\equiv 1(mod17)即可$，根據貝祖等式原理即可求出 $a=2$，所以

$\lambda =\frac{1}{9}=1\times 2(mod17)=2$

所以$x_3={\lambda }^2-x_1-x_2=8,y_3=\lambda (x_1-x_3)-y_1=15$

$9a\equiv 1mod17$的具體求法如下

n	s	t	q	r
-2				17( p )
-1	1(固定)	0(固定)		9(要求的)
0	0(固定)	1(固定)	1(17/9的商)	8(17/9餘數)
1	1($-q_{n-1}{s}_{n-1}+s_{n-2}$)	-1($-q_{n-1}{t}_{n-1}+t_{n-2}$)	1(9/8的商)	1(9/8的餘數)
2	-1	2	8(8/1的商)	0(8/1的餘數，為0停止運算)

比如n=2的時候, $s_n=-1\times 1+0=-1，t_n=-1\times (-1)+1=2$

所以有$-1\times 17+2\times 9=1$，則$9\times 2\equiv 1(mod17)$