兄弟連區塊鏈教程區塊鏈資訊保安3橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理二

兄弟連區塊鏈培訓發表於2018-11-09
區塊鏈解密演算法

橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理及其Go語言實現

橢圓曲線加解密演算法原理

建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。
而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。
此處x即為私鑰，xG即為公鑰。

橢圓曲線加密演算法原理如下：

設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。

公鑰加密：
選擇隨機數r，將訊息M生成密文C，該密文是一個點對，即：
C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰

私鑰解密：
M + rK – k(rG) = M + r(kG) – k(rG) = M
其中k、K分別為私鑰、公鑰。

橢圓曲線簽名演算法原理

橢圓曲線簽名演算法，即ECDSA。

設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。

私鑰簽名：

  • 1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。
  • 2、根據隨機數r、訊息M的雜湊h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。
  • 3、將訊息M、和簽名{rG, s}發給接收方。

公鑰驗證簽名：

  • 1、接收方收到訊息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。
  • 2、根據訊息求雜湊h。
  • 3、使用傳送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗籤成功。

原理如下：
hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
= r(h+xk)G / (h+kx) = rG

Go語言中橢圓曲線的實現

橢圓曲線的介面定義：

type Curve interface {
    //獲取橢圓曲線引數
    Params() *CurveParams
    //是否在曲線上
    IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
    //加法
    Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //二倍運算
    Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
    //k*(Bx,By)
    ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
    //k*G, G為基點
    ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

橢圓曲線的介面實現：

type CurveParams struct {
    //有限域GF(p)中質數p
    P       *big.Int
    //G點的階
    //如果存在最小正整數n，使得nG=O∞，則n為G點的階
    N       *big.Int
    //橢圓曲線方程y²= x³-3x+b中常數b
    B       *big.Int
    //G點(x,y)
    Gx, Gy  *big.Int
    //金鑰長度
    BitSize int
    //橢圓曲線名稱
    Name    string
}

func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
    //獲取橢圓曲線引數，即curve，程式碼略
}

func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
    //是否在曲線y²=x³-3x+b上，程式碼略
}

func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //加法運算，程式碼略
}

func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
    //二倍運算，程式碼略
}

func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*(Bx,By)，程式碼略
}

func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
    //k*G, G為基點，程式碼略
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go

Go語言中橢圓曲線簽名的實現

Go標準庫中實現的橢圓曲線簽名原理，與上述理論中基本接近。
相關證明方法已註釋在程式碼中。

//公鑰
type PublicKey struct {
    elliptic.Curve
    X, Y *big.Int
}

//私鑰
type PrivateKey struct {
    PublicKey //嵌入公鑰
    D *big.Int //私鑰
}

func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
    entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
    if entropylen > 32 {
        entropylen = 32
    }
    entropy := make([]byte, entropylen)
    _, err = io.ReadFull(rand, entropy)
    if err != nil {
        return
    }

    md := sha512.New()
    md.Write(priv.D.Bytes()) //私鑰
    md.Write(entropy)
    md.Write(hash)
    key := md.Sum(nil)[:32]

    block, err := aes.NewCipher(key)
    if err != nil {
        return nil, nil, err
    }

    csprng := cipher.StreamReader{
        R: zeroReader,
        S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
    }

    c := priv.PublicKey.Curve //橢圓曲線
    N := c.Params().N //G點的階
    if N.Sign() == 0 {
        return nil, nil, errZeroParam
    }
    var k, kInv *big.Int
    for {
        for {
            //取隨機數k
            k, err = randFieldElement(c, csprng)
            if err != nil {
                r = nil
                return
            }

            //求k在有限域GF(P)的逆，即1/k
            if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
                kInv = in.Inverse(k)
            } else {
                kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
            }

            //求r = kG
            r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
            r.Mod(r, N)
            if r.Sign() != 0 {
                break
            }
        }

        e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊
        s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr，即DkG
        s.Add(s, e) //e+DkG
        s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
        s.Mod(s, N) // N != 0
        if s.Sign() != 0 {
            break
        }
        
        //簽名為{r, s}，即{kG, (e+DkG)/k}
    }

    return
}

//驗證簽名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
    c := pub.Curve //橢圓曲線
    N := c.Params().N //G點的階

    if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
        return false
    }
    if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
        return false
    }
    e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊

    var w *big.Int
    //求s在有限域GF(P)的逆，即1/s
    if in, ok := c.(invertible); ok {
        w = in.Inverse(s)
    } else {
        w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
    }

    u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
    u1.Mod(u1, N)
    u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
    u2.Mod(u2, N)

    var x, y *big.Int
    if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
        x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
    } else {
        x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
        x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
        //即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
        //= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
        x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2) 
    }

    if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
        return false
    }
    x.Mod(x, N)
    return x.Cmp(r) == 0
}
//程式碼位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go

後記

橢圓曲線數字簽名演算法，因其高安全性，目前已廣泛應用在比特幣、以太坊、超級賬本等區塊鏈專案中。

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