# 橢圓曲線加解密及簽名演算法的技術原理及其Go語言實現
橢圓曲線加密演算法，即：Elliptic Curve Cryptography，簡稱ECC，是基於橢圓曲線數學理論實現的一種非對稱加密演算法。
相比RSA，ECC優勢是可以使用更短的金鑰，來實現與RSA相當或更高的安全。
據研究，160位ECC加密安全性相當於1024位RSA加密，210位ECC加密安全性相當於2048位RSA加密。
橢圓曲線在密碼學中的使用，是1985年由Neal Koblitz和Victor Miller分別獨立提出的。
### 橢圓曲線
一般，橢圓曲線可以用如下二元三階方程表示：
y² = x³ + ax + b，其中a、b為係數。
如果滿足條件4a³+27b²≠0，則可以基於E(a, b)定義一個群。
其形狀如下：
### 定義橢圓曲線的運算規則
橢圓曲線上的運算規則，由如下方式定義：
加法：過曲線上的兩點A、B畫一條直線，找到直線與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A+B，即為加法。
如下圖所示：
A + B = C
二倍運算：上述方法無法解釋A + A，即兩點重合的情況。
因此在這種情況下，將橢圓曲線在A點的切線，與橢圓曲線的交點，交點關於x軸對稱位置的點，定義為A + A，即2A，即為二倍運算。
如下圖所示：
A + A = 2A = B
正負取反：將A關於x軸對稱位置的點定義為-A，即橢圓曲線的正負取反運算。
如下圖所示：
無窮遠點：如果將A與-A相加，過A與-A的直線平行於y軸，可以認為直線與橢圓曲線相交於無窮遠點。
如下圖所示：
綜上，定義了A+B、2A運算，因此給定橢圓曲線的某一點G，可以求出2G、3G（即G + 2G）、4G......。
即：當給定G點時，已知x，求xG點並不困難。反之，已知xG點，求x則非常困難。
此即為橢圓曲線加密演算法背後的數學原理。
### 有限域上的橢圓曲線運算
橢圓曲線要形成一條光滑的曲線，要求x,y取值均為實數，即實數域上的橢圓曲線。
但橢圓曲線加密演算法，並非使用實數域，而是使用有限域。
按數論定義，有限域GF(p)指給定某個質數p，由0、1、2......p-1共p個元素組成的整數集合中定義的加減乘除運算。
假設橢圓曲線為y² = x³ + x + 1，其在有限域GF(23)上時，寫作：
y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)
此時，橢圓曲線不再是一條光滑曲線，而是一些不連續的點，如下圖所示。
以點(1,7)為例，7² ≡ 1³ + 1 + 1 ≡ 3 (mod 23)。如此還有如下點：
(0,1) (0,22)
(1,7) (1,16)
(3,10) (3,13)
(4,0)
(5,4) (5,19)
(6,4) (6,19)
(7,11) (7,12)
(9,7) (9,16)
(11,3) (11,20)
等等。
另外，如果P(x,y)為橢圓曲線上的點，則-P即(x,-y)也為橢圓曲線上的點。
如點P(0,1)，-P=(0,-1)=(0,22)也為橢圓曲線上的點。
### 計算xG
相關公式如下：
有限域GF(p)上的橢圓曲線y² = x³ + ax + b，若P(Xp, Yp), Q(Xq, Yq)，且P≠-Q，則R(Xr,Yr) = P+Q 由如下規則確定：
* Xr = (λ² - Xp - Xq) mod p
* Yr = (λ(Xp - Xr) - Yp) mod p
* 其中λ = (Yq - Yp)/(Xq - Xp) mod p（若P≠Q）, λ = (3Xp² + a)/2Yp mod p（若P=Q）
因此，有限域GF(23)上的橢圓曲線y² ≡ x³ + x + 1 (mod 23)，假設以(0,1)為G點，計算2G、3G、4G...xG等等，方法如下：
計算2G：
* λ = (3x0² + 1)/2x1 mod 23 = (1/2) mod 23 = 12
* Xr = (12² - 0 - 0) mod 23 = 6
* Yr = (12(0 - 6) - 1) mod 23 = 19
即2G為點(6,19)
計算3G：
3G = G + 2G，即(0,1) + (6,19)
* λ = (19 - 1)/(6 - 0) mod 23 = 3
* Xr = (3² - 0 - 6) mod 23 = 3
* Yr = (3(0 - 3) - 1) mod 23 = 13
即3G為點(3, 13)
同理計算4G、5G...xG，分佈如下圖：
### 橢圓曲線加解密演算法原理
建立基於橢圓曲線的加密機制，需要找到類似RSA質因子分解或其他求離散對數這樣的難題。
而橢圓曲線上的已知G和xG求x，是非常困難的，此即為橢圓曲線上的的離散對數問題。
此處x即為私鑰，xG即為公鑰。
橢圓曲線加密演算法原理如下：
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
公鑰加密：
選擇隨機數r，將訊息M生成密文C，該密文是一個點對，即：
C = {rG, M+rK}，其中K為公鑰
私鑰解密：
M + rK - k(rG) = M + r(kG) - k(rG) = M
其中k、K分別為私鑰、公鑰。
### 橢圓曲線簽名演算法原理
橢圓曲線簽名演算法，即ECDSA。
設私鑰、公鑰分別為k、K，即K = kG，其中G為G點。
私鑰簽名：
* 1、選擇隨機數r，計算點rG(x, y)。
* 2、根據隨機數r、訊息M的雜湊h、私鑰k，計算s = (h + kx)/r。
* 3、將訊息M、和簽名{rG, s}發給接收方。
公鑰驗證簽名：
* 1、接收方收到訊息M、以及簽名{rG=(x,y), s}。
* 2、根據訊息求雜湊h。
* 3、使用傳送方公鑰K計算：hG/s + xK/s，並與rG比較，如相等即驗籤成功。
原理如下：
hG/s + xK/s = hG/s + x(kG)/s = (h+xk)G/s
= r(h+xk)G / (h+kx) = rG
### Go語言中橢圓曲線的實現
橢圓曲線的介面定義：
```go
type Curve interface {
//獲取橢圓曲線引數
Params() *CurveParams
//是否在曲線上
IsOnCurve(x, y *big.Int) bool
//加法
Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (x, y *big.Int)
//二倍運算
Double(x1, y1 *big.Int) (x, y *big.Int)
//k*(Bx,By)
ScalarMult(x1, y1 *big.Int, k []byte) (x, y *big.Int)
//k*G, G為基點
ScalarBaseMult(k []byte) (x, y *big.Int)
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
```
橢圓曲線的介面實現：
```go
type CurveParams struct {
//有限域GF(p)中質數p
P *big.Int
//G點的階
//如果存在最小正整數n，使得nG=O∞，則n為G點的階
N *big.Int
//橢圓曲線方程y²= x³-3x+b中常數b
B *big.Int
//G點(x,y)
Gx, Gy *big.Int
//金鑰長度
BitSize int
//橢圓曲線名稱
Name string
}
func (curve *CurveParams) Params() *CurveParams {
//獲取橢圓曲線引數，即curve，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) IsOnCurve(x, y *big.Int) bool {
//是否在曲線y²=x³-3x+b上，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) Add(x1, y1, x2, y2 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//加法運算，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) Double(x1, y1 *big.Int) (*big.Int, *big.Int) {
//二倍運算，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) ScalarMult(Bx, By *big.Int, k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*(Bx,By)，程式碼略
}
func (curve *CurveParams) ScalarBaseMult(k []byte) (*big.Int, *big.Int) {
//k*G, G為基點，程式碼略
}
//程式碼位置src/crypto/elliptic/elliptic.go
```
### Go語言中橢圓曲線簽名的實現
Go標準庫中實現的橢圓曲線簽名原理，與上述理論中基本接近。
相關證明方法已註釋在程式碼中。
```go
//公鑰
type PublicKey struct {
elliptic.Curve
X, Y *big.Int
}
//私鑰
type PrivateKey struct {
PublicKey //嵌入公鑰
D *big.Int //私鑰
}
func Sign(rand io.Reader, priv *PrivateKey, hash []byte) (r, s *big.Int, err error) {
entropylen := (priv.Curve.Params().BitSize + 7) / 16
if entropylen > 32 {
entropylen = 32
}
entropy := make([]byte, entropylen)
_, err = io.ReadFull(rand, entropy)
if err != nil {
return
}
md := sha512.New()
md.Write(priv.D.Bytes()) //私鑰
md.Write(entropy)
md.Write(hash)
key := md.Sum(nil)[:32]
block, err := aes.NewCipher(key)
if err != nil {
return nil, nil, err
}
csprng := cipher.StreamReader{
R: zeroReader,
S: cipher.NewCTR(block, []byte(aesIV)),
}
c := priv.PublicKey.Curve //橢圓曲線
N := c.Params().N //G點的階
if N.Sign() == 0 {
return nil, nil, errZeroParam
}
var k, kInv *big.Int
for {
for {
//取隨機數k
k, err = randFieldElement(c, csprng)
if err != nil {
r = nil
return
}
//求k在有限域GF(P)的逆，即1/k
if in, ok := priv.Curve.(invertible); ok {
kInv = in.Inverse(k)
} else {
kInv = fermatInverse(k, N) // N != 0
}
//求r = kG
r, _ = priv.Curve.ScalarBaseMult(k.Bytes())
r.Mod(r, N)
if r.Sign() != 0 {
break
}
}
e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊
s = new(big.Int).Mul(priv.D, r) //Dr，即DkG
s.Add(s, e) //e+DkG
s.Mul(s, kInv) //(e+DkG)/k
s.Mod(s, N) // N != 0
if s.Sign() != 0 {
break
}
//簽名為{r, s}，即{kG, (e+DkG)/k}
}
return
}
//驗證簽名
func Verify(pub *PublicKey, hash []byte, r, s *big.Int) bool {
c := pub.Curve //橢圓曲線
N := c.Params().N //G點的階
if r.Sign() <= 0 || s.Sign() <= 0 {
return false
}
if r.Cmp(N) >= 0 || s.Cmp(N) >= 0 {
return false
}
e := hashToInt(hash, c) //e即雜湊
var w *big.Int
//求s在有限域GF(P)的逆，即1/s
if in, ok := c.(invertible); ok {
w = in.Inverse(s)
} else {
w = new(big.Int).ModInverse(s, N)
}
u1 := e.Mul(e, w) //即e/s
u1.Mod(u1, N)
u2 := w.Mul(r, w) //即r/s
u2.Mod(u2, N)
var x, y *big.Int
if opt, ok := c.(combinedMult); ok {
x, y = opt.CombinedMult(pub.X, pub.Y, u1.Bytes(), u2.Bytes())
} else {
x1, y1 := c.ScalarBaseMult(u1.Bytes()) //即eG/s
x2, y2 := c.ScalarMult(pub.X, pub.Y, u2.Bytes()) //即DGr/s
//即eG/s + DGr/s = (e + Dr)G/s
//= (e + Dr)kG / (e + DkG) = (e + Dr)r / (e + Dr) = r
x, y = c.Add(x1, y1, x2, y2)
}
if x.Sign() == 0 && y.Sign() == 0 {
return false
}
x.Mod(x, N)
return x.Cmp(r) == 0
}
//程式碼位置src/crypto/ecdsa/ecdsa.go
```
### 後記
橢圓曲線數字簽名演算法，因其高安全性，目前已廣泛應用在比特幣、以太坊、超級賬本等區塊鏈專案中。
網址：http://www.qukuailianxueyuan.io/
欲領取造幣技術與全套虛擬機器資料
區塊鏈技術交流QQ群：756146052 備註：CSDN
尹成學院微信：備註：CSDN
