- 公鑰密碼的基礎
- ECC 引入
- Principle
- 橢圓曲線加密演算法的安全性如何？
- Reference:
公鑰密碼的基礎
以下是公鑰密碼學一些關鍵點，
公鑰可以傳送給任何人，它是公開的。
必須保護好私鑰。如果中間方獲得私鑰，他們就能解密私信。
計算機可以使用公鑰快速加密訊息，使用私鑰快速解密訊息。如果沒有私鑰，計算機需要很長一段時間（數百萬年）才能暴力破解加密訊息。
公鑰密碼學原理：陷門函式
對於所有公鑰密碼學演算法來說，最關鍵的是它們都有自己獨特的陷門函式（Trapdoor Function）。陷門函式是一種只能單向計算，至少是隻在一個方向上易於計算的函式。（如果使用現代計算機從另一個方向暴力破解，需要數百萬年時間。）
非陷門函式的例子：A + B = C
已知 A 和 B，我就能計算出 C 。問題在於，在已知 B 和 C 的情況下，我也能計算出 A 。這就是非陷門函式。
陷門函式演示流程：
“I love Fox and Friends” + Public Key = “s80s1s9sadjds9s”
已知 “I love Fox and Friends” 和公鑰，我可以計算出 “s80s1s9sadjds9s” ，但是已知 “s80s1s9sadjds9s” 和公鑰，我無法計算出 “I love Fox and Friends” 。
在 RSA 演算法中，陷門函式取決於將一個巨大的數分解成質因數的難易程度。
公鑰：944,871,836,856,449,473
私鑰：961,748,941 和 982,451,653
在上述例子中，公鑰是一個很大的數，私鑰是公鑰的兩個質因數。這是一個很好的例子，因為將私鑰中的數相乘，很容易就能算出公鑰，但是你只有公鑰的話，需要很長時間才能使用計算機算出私鑰。
注：在真正的密碼學實踐中，私鑰的長度必須超過 200 位才能被視為是安全的。
ECC 引入
橢圓曲線公鑰密碼演算法簡稱ECC，ECC 與 RSA 的用途相同。
ECC 會生成一個公鑰和私鑰，允許雙方安全通訊。
不過，ECC 相比 RSA 有一大優勢。一個 256 位的 ECC 金鑰與一個 3072 位的 RSA 金鑰安全性相同。也就是說，在資源有限的系統（如智慧手機、嵌入式計算機和加密貨幣網路）中，ECC 金鑰需佔用的硬碟空間和頻寬是 RSA 金鑰的 10% 不到。
Principle
ECC 與 RSA 的主要區別在於陷門函式。
ECC 的陷門函式類似於數學版的檯球遊戲。我們先在曲線上找到一個特定的點，然後使用函式（通常稱為點函式）在曲線上找到一個新的點，接著重複使用點函式，在曲線上不斷跳躍，直到找到最後一個點為止。我們來看一下該演算法的具體步驟：
橢圓曲線公鑰密碼演算法原理：
從 A 點開始：A dot B = -C（從 A 點至 B 點畫一條直線，與曲線相交於 -C 點）-C 點經過 X 軸反射到曲線上的 C 點A dot C = -D (從 A 點至 C 點畫一條直線，與曲線相交於 -D 點）-D 點經過 X 軸反射到曲線上的 D 點A dot D = -E (在 A 點至 D 點畫一條直線，與曲線相交於 -E 點）-E 點經過 X 軸反射到曲線上的 E 點。
這是一個很棒的陷門函式，因為如果你知道起點（A）在哪裡，以及到達終點（E）需要經歷多少次跳躍，很容易就能找到終點。但是，如果你只知道起點 A 和終點 E 在哪裡，幾乎不可能知道中間經歷了幾次跳躍。
公鑰： 起點 A 、終點 E
私鑰： 從 A 點至 E 點需要經歷幾次跳躍
如果轉化為加密演算法？如何建立公鑰和私鑰？如何用它們來加密資料？
TODO。。。
橢圓曲線加密演算法的安全性如何？
雖然 RSA 加密演算法具有極高的安全性，但 ECC 可以說是更勝一籌。
理論上，量子計算機或可有效解決 RSA 所依賴的因數分解問題，從而破解 RSA。 這種情況是否會很快成真，是一個很有爭議的問題。 但我們可以肯定地說，考慮到 ECC 的複雜性，與 RSA 相比，它更能抵抗量子計算攻擊。
有多大的抵抗能力？ 荷蘭數學家 Arjen Lenstra 在與他人合著的一篇研究論文中，將破解加密演算法與燒水進行比較。 基本概念是計算出破解一個特定的加密演算法需要多少能量，然後計算這些能量可以煮沸多少水。 透過這樣的類比，破解一個 228 位 RSA 金鑰所需的能量比煮沸一茶匙水所需的能量還少，但破解一個 228 位 ECC 金鑰所消耗的能量可以煮沸地球上所有的水。 要達到相同的安全級別，RSA 金鑰的長度需要達到 2380 位。
Reference:
https://www.panewslab.com/zh/articledetails/D55038644.html
https://www.keepersecurity.com/blog/zh-hans/2023/06/07/what-is-elliptic-curve-cryptography/