3.2　公開金鑰演算法

3.2.1　兩把鑰匙：公鑰和私鑰

公鑰和私鑰是現代密碼學分支非對稱性加密裡面的名詞，對於一段需要保護的資訊，通常使用公鑰加密，用私鑰解密，這種加密方法也稱為公開金鑰演算法。

在諜戰劇裡，發電報那種一般都是使用對稱加密演算法。這種加密方式缺點是顯而易見的，如果被人知道了金鑰和加密方 法，按照加密方法反著來就能解密。一直到非對稱加密演算法的出現，這種情況才有所改觀。公鑰就是可以對全世界公開的金鑰，比如你和Google通訊時，你可 以使用Google公開提供的1024位的公鑰加密資訊，加密後的密文只有使用Google私藏的私鑰才可以做解密，這就保證了通訊安全。

一般來說，公開金鑰演算法對於大篇幅的原始資料加密的效能不會很高，因此如果是用於大段資料的加密與解密，通常還是會使用強度比較高的對稱加密演算法，而公開金鑰演算法會用於在網路中傳輸對稱加密演算法的金鑰，兩者結合使用，發揮各自的優點。

自從非對稱加密演算法誕生以來，人們發現一些數學函式極其適用於這種演算法，比如橢圓曲線加密演算法。這些數學函式具有 某種困難度：由輸入算輸出很容易，但是從輸出計算輸入則幾乎不可能。比特幣是使用橢圓曲線加密演算法作為公共金鑰編碼的基礎的，事實上在很多區塊鏈系統中都 是使用橢圓曲線加密演算法。

3.2.2　RSA演算法

RSA以它的三個發明者Ron Rivest、Adi Shamir和Leonard Adleman的名字首字母命名。RSA加密演算法是最常見的非對稱加密演算法。它既能用於加密，也能用於數字簽名，是目前最流行的公開金鑰演算法。RSA安全 基於大質數分解的難度，RSA的公鑰和私鑰是一對大質數，從一個公鑰和密文恢復明文的難度，等價於分解兩個大質數之積，這是公認的數學難題。

RSA的安全基於大數的因子分解，但並沒有從理論上證明破譯RSA的難度與大數分解難度等價，RSA的重大缺陷是無法從理論上把握它的保密效能如何。只不過RSA從提出到現在20多年，經歷了各種攻擊的考驗，被普遍認為是目前最優秀的公鑰方案之一。RSA的缺點是：

·產生金鑰很麻煩，受限於質數產生的技術；

·分組長度太大，運算代價高，速度慢。

我們通過一個例子來理解RSA演算法。假設Alice要與Bob進行加密通訊，她該怎麼生成公鑰和私鑰呢？

1）選擇兩個質數。通常是隨機選擇兩個不同的質數，我們不妨稱為p和q，本例中Alice選擇了61和53，當然實際應用中，這兩個質數越大越好，這樣就越難破解。

2）計算p和q的乘積n。Alice把61和53相乘：n=61×53=3233。

n的長度就是金鑰長度，3233寫成二進位制是110010100001，一共有12位，所以這個金鑰就是12位，實際應用中，RSA金鑰一般是1024位，重要場合則為2048位，還是那句話，越長越好。

3）計算n的尤拉函式Φ（n）。

根據公式：φ（n）=（p-1）（q-1），Alice算出φ（3233）等於60×52，即3120，實際上就是兩個質數分別減1後的乘積。

4）選擇一個整數e。

這個整數是隨機選擇的，並且有個條件，條件是1<e<Φ（n），且e與Φ（n）互質。Alice就在1到3120之間，隨機選擇了17，實際應用中，常常選擇65537。

5）計算e對於Φ（n）的模反元素d。

所謂“模反元素”就是指有一個整數d，可以使得e*d被φ（n）除的餘數為1，表示式

如下：

e*d≡1（modφ（n））

這個式子等價於

e*d-1=kφ（n）

於是找到模反元素d，實質上就是對下面這個二元一次方程求解：

e*x+φ（n）y=1

已知e=17，φ（n）=3120，則17x+3120y=1。

這個方程可以用“擴充套件歐幾里得演算法”求解，此處省略具體過程。總之，Alice算出一組整數解為（x，y）=（2753，-15），即d=2753。

6）產生公鑰和私鑰。

將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰，在Alice的例子中，n=3233，e=17，d=2753，所以公鑰就是（3233，17），私鑰就是（3233，2753）。

至此所有計算就完成了，可以看到RSA的演算法過程其實還是很簡單的，最關鍵的就是找到兩個足夠大的質數。

3.2.3　橢圓曲線密碼演算法

橢圓曲線是滿足一個特殊方程的點集，注意，不要跟標準橢圓方程混淆，那根本就是兩回事，看一個標準的橢圓曲線方程：

y2=x3+ax+b

在幾何意義上，它通常是這樣的一個圖形，如下所示：

如上圖所示，一個橢圓曲線通常是滿足一個變數為2階，另一個變數為3階的二元方程。按照這樣的定義，橢圓曲線是有很多種的，而橢圓曲線密碼演算法是基於橢圓曲線數學的一種公鑰密碼演算法，其主要的安全性在於利用了橢圓曲線離散對數問題的困難性。

在區塊鏈中，常用的是ECDSA（橢圓曲線數字簽名演算法），這是利用橢圓曲線密碼（ECC）對數字簽名演算法 （DSA）的模擬。ECDSA於1999年成為ANSI標準，並於2000年成為IEEE和NIST（美國國家標準與技術研究院）標準。橢圓曲線密碼演算法 實現了資料加解密、數字簽名和身份認證等功能，該技術具有安全性高、生成公私鑰方便、處理速度快和儲存空間小等方面的優勢。相對於RSA演算法，在實際的開 發使用中，橢圓曲線加密使用得更廣泛，比如比特幣就是使用了橢圓曲線中的SECP256k1，可以提供128位的安全保護。橢圓曲線具體的數學原理，其過 程證明比較晦澀枯燥，這裡不再贅述，感興趣的朋友可以去查閱一些相關的數學資料。

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