非對稱加密演算法RSA中的公鑰和私鑰

我妻禮彌發表於2018-06-03
加密演算法

*本文只討論一個問題，在非對稱加密演算法RSA中，什麼是公鑰什麼是私鑰

非對稱加密演算法

非對稱加密演算法有很多，例如RSA、Elgamal、揹包演算法、Rabin、D-H、ECC（橢圓曲線加密演算法）。

在在這些演算法中，RSA最為常用，因此，在沒有特殊說明的情況下，常說的公鑰、私鑰都指的的RAS的公鑰、私鑰。

這裡也是以RSA演算法為例，來討論非對稱加密中的公鑰和私鑰 。

RSA加密演算法

要想了解公鑰和私鑰的區別，就要從它們的產生開始。
這裡我預設讀者已經瞭解了RSA演算法。如果還不瞭解，請先去看這兩篇文章。
RSA演算法原理（一）
RSA演算法原理（二）
特別是 RSA演算法原理（二）一定要仔細看一遍，不然下面的內容你將看不懂。

RSA加密演算法中的公鑰和私鑰

看過上面兩篇文章的人應該已經知道了，在RSA加密演算法中有6個非常關鍵數字，他們是演算法的核心。
這6個數字分別是

  • 大質數p
  • 另一個大質數q
  • p和q的乘積n
  • n的尤拉函式φ(n)  注：φ(n) = (p-1)(q-1)
  • 一個隨機整數e，1< e < φ(n)，且e與φ(n) 互質
  • e對於φ(n)的模反元素d  注：所謂"模反元素"就是指有一個整數d，可以使得ed被φ(n)除的餘數為1。

其中(n,e)在一起組成了公鑰，(n,d)在一起組成了私鑰。

現在讓我們來回答最開始提出是問題，什麼是公鑰，什麼是私鑰。
答：公鑰為(n,e) 私鑰為(n,d)

文章到此結束，謝謝大家的閱讀！

番外1

其實我們仔細想想就會發現，(n,e) 和 (n,d) 根本沒什麼區別。為什麼一個叫公鑰一個叫私鑰呢？反過來行不行？

答案是可以的，根據演算法原理我們知道，只有 (n,e) 是算不出 (n,d) 的，反過來只有 (n,d) 也是算不出 (n,e) 的。所以反過來也是安全的。

那我們就不經思考了，既然反過來也可以，那公鑰私鑰還有什麼區別，為什麼一個叫公鑰，一個叫私鑰呢。

我想了很久，最終想到了一個合理的解釋，被公開的祕鑰就叫公鑰，沒有被公開的祕鑰就叫私鑰。網上多數的回答也證實了我的想法。

原來 公鑰和私鑰並不是根據 (n,e) 和 (n,d) 區分的，而是根據使用上的不同來區分的

番外2

讓我們再思考一個問題。
在工作中，我們經常會用到各種生成祕鑰的工具。這些工具一般會為我們生成兩個檔案。一個公鑰檔案，假設叫public.key。一個私鑰檔案，假設叫private.key。

根據上文的結論，我們是否能將private.key當做公鑰公開，將public.key當做私鑰，保留呢？

答案是 不可以！！！大家千萬別去這麼做！

為什麼，按照上文的結論 “被公開的祕鑰就叫公鑰，未被公開的祕鑰就叫私鑰”，不應該是可以嗎？為什麼不可以？

除非，上面的結論是錯的！！！

是的，上面的結論是錯的，公鑰和私鑰並不是根據使用上的不同來區分的，也不是根據(n,e) 和 (n,d) 來區分的。

那公鑰和私鑰是通過什麼來區分的，到底有沒有區別。
彆著急，讓我們先來看一個有趣的現象

根據私鑰推匯出公鑰

在一些祕鑰生成工具中，有一個功能叫做 根據私鑰推匯出公鑰 ，這個功能可以根據私鑰檔案，推匯出公鑰檔案來。 比如螞蟻金服的祕鑰生成工具

非對稱加密演算法RSA中的公鑰和私鑰

學習了RSA演算法原理的人肯定想說，這不可能，不管私鑰是(n,d)還是(n,e) ，只有 (n,e) 是算不出 (n,d) 的，只有 (n,d) 也是算不出 (n,e) 的。

難道是阿里的人太nb了，可以算出來嗎？

當然不是！要真是這樣，這種加密演算法就不安全了。

那這個功能是怎麼實現的了！
答案是私鑰中包含了公鑰資訊！！！

私鑰中包含公鑰資訊

讓我們做個實驗，隨便用什麼祕鑰生成工具，生成一對祕鑰，然後以文字的方式開啟，你會發現，私鑰的內容總是比公鑰的多！ 再仔細觀察你會發現 公鑰中的部分內容在私鑰中也存在！

這裡最好用文字對比工具，這樣看的比較清楚，我知道你們懶得去動手，所以我幫你們做好了！

非對稱加密演算法RSA中的公鑰和私鑰
左邊是公鑰的內容，右邊是私鑰的內容，可以看到中間有一行內容是一樣的！

為什麼會這樣， 公鑰難道不是(n,e) 私鑰難道不是(n,d) 嗎！

按照RSA演算法的定義，公鑰確實是(n,e) 私鑰也確實的(n,d)。

但是，實際應用中，人們發現，這樣做的話，公鑰和私鑰的重要性和地位就一樣了，但其實我們最關心的是私鑰，私鑰才是最重要的。

於是
在pkcs標準中，pkcs#1規定，私鑰包含(n,e,d,p,q)，公鑰包含(n,e)
在pkcs標準中，pkcs#1規定，私鑰包含(n,e,d,p,q)，公鑰包含(n,e)
在pkcs標準中，pkcs#1規定，私鑰包含(n,e,d,p,q)，公鑰包含(n,e)

重要的話說三遍

(pkcs全稱Public-Key Cryptography Standards (公開祕鑰加密標準)，旗下包含十幾個子標準，每個子標準負責一個領域。)

這樣做有兩個好處

  1. 公鑰和私鑰的重要性和地位不再一樣，私鑰的重要性和地位遠高於公鑰，這有利於私鑰的持有者。
  2. 擁有了私鑰，就相當於擁有了公鑰，使用起來特別方便，就算公鑰弄丟了，還可以通過私鑰生成出來。

(從上文我們瞭解到，理論和實現還是有區別的，理論跟偏向原理，而實現更偏向使用，所以實際中的私鑰會比理論中的私鑰多幾個引數。)

現在我們可以回答最開始提出的問題了，在非對稱加密演算法RSA中，什麼是公鑰什麼是私鑰。

  1. 公鑰首先是一種祕鑰，它包含(n,e),可以被公開，不能推匯出私鑰
  2. 私鑰首先也是一種祕鑰，他有兩種語法格式，pkcs#8標準語法格式的和pkcs#1標準語法格式，其中pkcs#1規定，私鑰包含(n,e,d,p,q)，不可以被公開，可以推匯出公鑰。

在實際應用中，絕大多數對RSA的實現，都遵循pkcs的標準，即私鑰能推出公鑰，但公鑰不能推出私鑰

總結

通過上面的文章我們至少要知道以下幾點

  • 公鑰和私鑰不一樣
  • 私鑰可以推匯出公鑰，但公鑰無法推匯出私鑰(私鑰包含公鑰)
  • 理論和實現 是有出入的，所以只學習理論是無法為我們解惑的，必須聯絡實際進行思考才能解答我們的疑問。

番外3

祕鑰格式

生成的祕鑰一般會通過PEM編碼成文字來儲存。具體如下：

非對稱加密演算法RSA中的公鑰和私鑰

  • PKCS1語法格式私鑰：傳統格式，PHP、.NET一般使用此格式
  • PKCS8語法格式私鑰：java一般使用此格式
  • PKCS1格式和PKCS8格式的私鑰，匯出的公鑰內容是一摸一樣的

公鑰是不分 pkcs1 格式和 pkcs8格式的，因為公鑰就只有一種語法格式。

RSA金鑰語法

RSA公鑰在PKCS#1標準中定義的語法

RSAPublicKey ::= SEQUENCE {
    modulus           INTEGER,  -- n
    publicExponent    INTEGER   -- e
}
(n,e)
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RSA私鑰在PKCS#1標準中定義的語法

RSAPrivateKey ::= SEQUENCE { 
version	Version,	//版本 
modulus	INTEGER,	// RSA合數模 n 
publicExponent	INTEGER,	//RSA公開冪 e 
privateExponent	INTEGER,	//RSA私有冪 d 
prime1	INTEGER,	//n的素數因子p 
prime2	INTEGER,	//n的素數因子q 
exponent1	INTEGER,	//值 d mod (p-1) 
exponent2	INTEGER,	//值 d mod (q-1) 
coefficient	INTEGER,	//CRT係數 (inverse of q) mod p 
otherPrimeInfos	OtherPrimeInfos OPTIONAL 
}
(n,e,d,p,q)
複製程式碼

RSA私鑰在PKCS#8標準中定義的語法

pkcs#8 全稱 Private-Key Information Syntax Standard 私鑰資訊語法標準，是專門為私鑰而設計的規範，所以是不存在PKCS#8格式的公鑰這一說

PrivateKeyInfo ::= SEQUENCE {  
version	Version,	//版本 
privateKeyAlgorithm	PrivateKeyAlgorithmIdentifier, 	//演算法標示符 
privateKey	PrivateKey,  //私鑰
attributes		[0]  IMPLICIT Attributes OPTIONAL 
} 
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