當今最複雜的橢圓曲線找到了！29個獨立有理點打破18年記錄
机器之心發表於2024-11-12
對現代密碼學稍有了解的人都必定聽過橢圓曲線的赫赫威名，但橢圓曲線本身依然還存在很多懸而未決的問題。今天，量子雜誌作者 Joseph Howlett 介紹了這方面的一項打破 18 年記錄的新突破：找到了一條迄今為止有理點模式最複雜的橢圓曲線。今年 8 月，兩位數學家發現了一條打破記錄的怪異曲線。在此過程中，他們觸及了一個仍待解決的重大難題 —— 其涉及到數學領域一類最古老、最基礎的方程。橢圓曲線至少可以追溯到古希臘，是許多研究領域的核心。它們具有豐富的底層結構，數學家們用它開發了許多強大的技術和理論。在 1994 年 Andrew Wiles 著名的費馬大定理（是當時數論領域最重要的未解問題之一）證明中，橢圓曲線就發揮了重要作用。橢圓曲線對現代密碼學也至關重要。即便如此，對於橢圓曲線的某些最基本的問題，數學家們仍在尋找答案。舉個例子，他們常透過研究橢圓曲線上的特殊「有理點（rational point）」來描述其特徵。在一條給定的曲線上，這些點會形成清晰且有意義的模式。但我們目前尚不清楚這些模式的多樣性和複雜程度是否有極限。透過解答這個問題，可讓數學家們理解數量巨大且種類繁多的橢圓曲線世界 —— 這個世界中的許多曲線都仍未得到探索。因此，數學家們開始探索這個世界的外圍，尋找模式越來越奇怪的異常曲線。這個過程很艱辛，並且既需要創造力，也需要複雜的計算機程式。現在，哈佛大學的 Noam Elkies 和加利福尼亞州拉霍亞通訊研究中心的 Zev Klagsbrun 這兩位數學家發現了一條至今為止有理點模式最複雜的橢圓曲線，打破了 18 年前的記錄。「這個阻礙能否打破是一個重大問題。」克羅埃西亞薩格勒布大學的 Andrej Dujella 說，「對於我們所有研究和關注橢圓曲線的人來說，這是一個非常令人興奮的結果。」橢圓曲線的形式為 y² = x³ + Ax + B，其中， A 和 B 是有理數，它們看起來是這樣的：在橢圓曲線的研究中，數學家們特別關注其有理解 —— 即曲線上 x 值和 y 值都是有理數的點。俄亥俄州立大學的 Jennifer Park 表示：這實際上是人類數學歷史上最古老的問題之一。雖然找到簡單型別方程的有理解相對直接，但橢圓曲線是真正存在許多未解問題的第一類方程，布朗大學的 Joseph Silverman 說道。「這僅僅是一個三次方程的兩個變數，就已經足夠複雜了。」為了掌握橢圓曲線的有理解，數學家們常常依賴於曲線的秩，這是一個衡量曲線上有理點密集程度的數字。秩為 0 的橢圓曲線只有有限數量的有理點。秩為 1 的橢圓曲線擁有無限多的有理點，但所有這些點都按照一種簡單的模式排列，這意味著如果你知道其中一個點，就可以遵循一個眾所周知的程式來找到其餘的點。高秩的橢圓曲線同樣擁有無限多的有理點，但這些點之間的關係更加複雜。例如，如果你知道一個秩為 2 的橢圓曲線的有理解，你可以使用在秩為 1 情況下相同的程式來找到一整個家族的有理點。但是，這條曲線還有第二個家族的有理點。這意味著這些有理點分佈在曲線上以更復雜的方式，形成多個線性獨立的族群。橢圓曲線的秩告訴數學家們需要多少個獨立的點，即來自不同家族的點 —— 以定義其有理解的集合。秩越高，曲線上的有理點就越豐富。秩為 2 和秩為 3 的曲線都有無限多的有理解，但秩為 3 的曲線包含來自額外家族的有理點，這意味著在平均情況下，一定長度的曲線將包含更多這樣的點。幾乎所有的橢圓曲線都已知是秩為 0 或秩為 1。但仍然有無限多的異常情況具有更高的秩 —— 並且這些曲線極其難以找到。因此，數學家們不確定秩是否有限制。在相當長的一段時間裡，大多數專家認為理論上可以構造任何秩的曲線。最近的證據表明情況並非如此。由於沒有確鑿的證明，數學家們只能就橢圓曲線的真實本質進行辯論，這正說明了這些方程還有很多未知之處。 Elkies，一位傑出的數論學家。在 2000 年代中期，他正在專注於看似無關的研究，稱為 K3 曲面。為了理解它們，Elkies 將它們切割並觀察各個部分。想象一開始有一個簡單的表面，一個平面。你可以將其切割成無限多的直線，這些直線並排放置。根據你切割的方式，最終得到的線條將由不同的方程定義。同樣地，有更復雜的、曲線的表面，當切割時，會產生無限多的橢圓曲線。自 1950 年代以來，數學家們一直在使用這些表面來找尋高秩橢圓曲線。Elkies 意識到 K3 曲面足夠奇特，可以讓他接觸到更奇特的曲線。2006 年，他以正確的方式對一個特定的 K3 曲面進行了切片，並在切片中發現了一條橢圓曲線，他可以證明該曲線的秩至少為 28，打破了之前 24 的記錄。這對橢圓曲線專家來說是一個激動人心的時刻，他們相信接下來可能會出現一大批打破紀錄的人。然而，之後並無大的突破。Elkies 的記錄保持了將近二十年 —— 這與自 1970 年代以來數學家們相對穩定的重新整理記錄的速度形成了明顯的背離。這或許是一種跡象，表明秩畢竟可能是有限的，或者，這僅僅反映了這一研究確實很難？在 2006 年 Elkies 公佈他的發現之際，Zev Klagsbrun 正就讀於紐約皇后學院本科。他的一位教授，曾在 80 年代和 Elkies 比過同一場高中數學競賽。在辦公時間，Zev 被告知了這個破紀錄的曲線的新訊息。Zev 對此很感興趣。多年後，他重新審視了 Elkies 的結果，證明了一個猜想是正確的 ——Elkies 的曲線的秩恰好是 28。因此，當 Zev 在 2019 年的一個會議上遇到 Elkies 時，他說服了 Elkies 重新開始尋找新的曲線。「我當時說，嘿，我願意寫程式碼，和我一起繼續破解橢圓曲線的秘密吧！」Zev 說。在 Elkies 同意之後，他們重新審視了十八年前 Elkies 研究過的 K3 曲面。當時，Elkies 透過切片，得到了結論：這些曲線的秩至少為 17，但他的目標是超越 24 的記錄。由於無法直接計算每一條曲線的秩，Elkies 篩選出在數百萬條曲線中最可能具有異常高秩的候選，再手動計算這些曲線的秩，直到最終找到了那條秩為 28 的曲線。Klagsbrun 提供了一個更快的計算方法，把 Elkies 能處理的數百萬條，擴充套件到了數十萬億條。這次更廣泛的搜尋，從舊的曲線堆中發現了許多不尋常特性的曲線，但它們都沒有打破 28 秩的記錄。兩人決定繼續前進。四年過去了。然後就到了幾個月前，Elkies 和 Klagsbrun 在一次會議上再次相遇，並開始交談。他們開始以不同的方式對 K3 曲面進行切片，得到了一個可以研究的新曲線堆。但是，切片方法有好幾百種，而大多數切片方法似乎都不太可能得到他們想要的曲線。然後，他們完全偶然地發現了一種切片方法，就像 Elkies 之前的那種方法一樣，可以得到一個曲線堆，並且保證其中所有曲線的秩都至少為 17。與其他方法相比，這種方法似乎更可能挖到寶。果然，使用 Klagsbrun 更強大的計算技術，他們在這個曲線堆中發現了一條秩至少為 29 的橢圓曲線。這條橢圓曲線具有迄今為止發現過的最複雜的有理解集：需要至少 29 個獨立點才能描述其特徵。這條曲線的方程如果寫成 y² = x³ + Ax + B 的形式，則 A 和 B 的值都有 60 個數字那麼長。Elkies 和 Klagsbrun 找到的 29 個獨立的有理解涉及的數同樣巨大。對於橢圓曲線的秩是否有上限的問題，這個結果並未將其徹底解決。「現在我們已經找到了這一條秩更高的曲線，那就有理由去希望」存在具有任意高的秩的曲線，Klagsbrun 說，「另一方面，老天，找到這一條就耗費了大量功夫。很顯然想要找到更高秩的樣本，還需要一些新思路。」不過如果能將他和 Elkies 的努力推進得足夠遠，也許能夠扭轉局面。他們需要找到一個無限的曲線堆，保證其秩至少為 22（而不是 17，這是他們迄今為止所能做到的最好結果）。如果存在這樣一個堆，那就會與「秩存在有限上限」的已有最有力證據相矛盾。不管怎樣，這條秩 29 曲線的發現都擴充了這個未知領域的邊界。正如生物學家試圖透過研究生活在極端環境中的生物來了解生命一樣，透過繪製橢圓曲線世界的極端邊緣，數學家也可以獲得很大收穫。https://www.quantamagazine.org/new-elliptic-curve-breaks-18-year-old-record-20241111/https://listserv.nodak.edu/cgi-bin/wa.exe?A2=NMBRTHRY;b9d018b1.2409&FT=&P=&H=&S=b