1．和差倍問題
和差問題 和倍問題 差倍問題
已知條件 幾個數的和與差 幾個數的和與倍數 幾個數的差與倍數
公式適用範圍 已知兩個數的和，差，倍數關係
公式 ①(和－差)÷2=較小數
較小數＋差=較大數
和－較小數=較大數
②(和＋差)÷2=較大數
較大數－差=較小數
和－較大數=較小數
和÷(倍數＋1)=小數
小數×倍數=大數
和－小數=大數
差÷(倍數-1)=小數
小數×倍數=大數
小數＋差=大數
關鍵問題 求出同一條件下的
和與差 和與倍數 差與倍數
2．年齡問題的三個基本特徵：
①兩個人的年齡差是不變的；
②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；
③兩個人的年齡的倍數是發生變化的；
3．歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題：根據題目中的條件確定並求出單一量；
4．植樹問題
基本型別 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹 在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹 封閉曲線上植樹
基本公式 棵數=段數＋1
棵距×段數=總長 棵數=段數－1
棵距×段數=總長 棵數=段數
棵距×段數=總長
關鍵問題 確定所屬型別，從而確定棵數與段數的關係
5．雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：
②假設後，發生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；
④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。
基本公式：
①把所有雞假設成兔子：雞數＝（兔腳數×總頭數－總腳數）÷（兔腳數－雞腳數）
②把所有兔子假設成雞：兔數＝（總腳數一雞腳數×總頭數）÷（兔腳數一雞腳數）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6．盈虧問題
基本概念：一定量的物件，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生一種結果，由於分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關係求物件分組的組數或物件的總量．
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由於標準的差異造成結果的變化，根據這個關係求出參加分配的總份數，然後根據題意求出物件的總量．
基本題型：
①一次有餘數，另一次不足；
基本公式：總份數＝（餘數＋不足數）÷兩次每份數的差
②當兩次都有餘數；
基本公式：總份數＝（較大餘數一較小余數）÷兩次每份數的差
③當兩次都不足；
基本公式：總份數＝（較大不足數一較小不足數）÷兩次每份數的差
基本特點：物件總量和總的組數是不變的。
關鍵問題：確定物件總量和總的組數。
7．牛吃草問題
基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。
基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；
關鍵問題：確定兩個不變的量。
基本公式：
生長量=（較長時間×長時間牛頭數-較短時間×短時間牛頭數）÷（長時間-短時間）；
總草量=較長時間×長時間牛頭數-較長時間×生長量；
8．週期迴圈與數表規律
週期現象：事物在運動變化的過程中，某些特徵有規律迴圈出現。
週期：我們把連續兩次出現所經過的時間叫週期。
關鍵問題：確定迴圈週期。
閏 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；
9．平均數
基本公式：①平均數=總數量÷總份數
總數量=平均數×總份數
總份數=總數量÷平均數
②平均數=基準數＋每一個數與基準數差的和÷總份數
基本演算法：
①求出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.
②基準數法：根據給出的數之間的關係，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些差的平均數；最後求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關係見基本公式②。
10．抽屜原理
抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜裡，那麼必有一個抽屜中至少放有2個物體。
例：把4個物體放在3個抽屜裡，也就是把4分解成三個整數的和，那麼就有以下四種情況：
①4=4+0+0 ②4=3+1+0 ③4=2+2+0 ④4=2+1+1
觀察上面四种放物體的方式，我們會發現一個共同特點：總有那麼一個抽屜裡有2個或多於2個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。
抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜裡，其中n>m，那麼必有一個抽屜至少有:
①k=[n/m ]+1個物體：當n不能被m整除時。
②k=n/m個物體：當n能被m整除時。
理解知識點：[X]表示不超過X的最大整數。
例[4.351]=4；[0.321]=0；[2.9999]=2；
關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而後依據抽屜原則進行運算。
11．定義新運算
基本概念：定義一種新的運算子號，這個新的運算子號包含有多種基本（混合）運算。
基本思路：嚴格按照新定義的運算規則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然後按照基本運算過程、規律進行運算。
關鍵問題：正確理解定義的運算子號的意義。
注意事項：①新的運算不一定符合運算規律，特別注意運算順序。
②每個新定義的運算子號只能在本題中使用。
12．數列求和
等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。
基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用a1表示；
項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；
公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；
通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；
數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差數列中涉及五個量：a1 ,an, d, n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an = a1+（n－1）d；
通項＝首項＋（項數一1) ×公差；
數列和公式：sn,= (a1+ an)×n÷2；
數列和＝（首項＋末項）×項數÷2；
項數公式：n= (an+ a1)÷d＋1；
項數=（末項-首項）÷公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））÷（n－1）；
公差=（末項－首項）÷（項數－1）；
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；
13．二進位制及其應用
十進位制：用0～9十個數字表示，逢10進1；不同數位上的數字表示不同的含義，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然數）
二進位制：用0～1兩個數字表示，逢2進1；不同數位上的數字表示不同的含義。
（2）= An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意：An不是0就是1。
十進位制化成二進位制：
①根據二進位制滿2進1的特點，用2連續去除這個數，直到商為0，然後把每次所得的餘數按自下而上依次寫出即可。
②先找出不大於該數的2的n次方，再求它們的差，再找不大於這個差的2的n次方，依此方法一直找到差為0，按照二進位制展開式特點即可寫出。
14．加法乘法原理和幾何計數
加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法……，在第n類方法中有mn種不同方法，那麼完成這件任務共有：m1+ m2....... +mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的分類方法。
基本特徵：每一種方法都可完成任務。
乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有m1種方法，不管第1步用哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那麼完成這件任務共有：m1×m2....... ×mn種不同的方法。
關鍵問題：確定工作的完成步驟。
基本特徵：每一步只能完成任務的一部分。
直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。
直線特點：沒有端點，沒有長度。
線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。
線段特點：有兩個端點，有長度。
射線：把直線的一端無限延長。
射線特點：只有一個端點；沒有長度。
①數線段規律：總數＝1+2+3+…+（點數一1）；
②數角規律=1+2+3+…+（射線數一1）；
③數長方形規律：個數=長的線段數×寬的線段數：
④數長方形規律：個數=1×1+2×2+3×3+…+行數×列數
15．質數與合數
質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。
合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。
質因數：如果某個質數是某個數的約數，那麼這個質數叫做這個數的質因數。
分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。
分解質因數的標準表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合數N的質因數，且a1<a2<a3<……<an。
求約數個數的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互質數：如果兩個數的最大公約數是1，這兩個數叫做互質數。
16．約數與倍數
約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。
公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。
最大公約數的性質：
1、 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。
2、 幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。
3、 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。
4、 幾個數都乘以一個自然數m，所得的積的最大公約數等於這幾個數的最大公約數乘以m。
例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；
18的約數有：1、2、3、6、9、18；
那麼12和18的公約數有：1、2、3、6；
那麼12和18最大的公約數是：6，記作（12，18）=6；
求最大公約數基本方法：
1、分解質因數法：先分解質因數，然後把相同的因數連乘起來。
2、短除法：先找公有的約數，然後相乘。
3、輾轉相除法：每一次都用除數和餘數相除，能夠整除的那個餘數，就是所求的最大公約數。
公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小公倍數。
12的倍數有：12、24、36、48……；
18的倍數有：18、36、54、72……；
那麼12和18的公倍數有：36、72、108……；
那麼12和18最小的公倍數是36，記作[12，18]=36；
最小公倍數的性質：
1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。
2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等於這兩個數的乘積。
求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法
17．數的整除
一、基本概念和符號：
1、整除：如果一個整數a，除以一個自然數b，得到一個整數商c，而且沒有餘數，那麼叫做a能被b整除或b能整除a，記作b|a。
2、常用符號：整除符號“|”，不能整除符號“”；因為符號“∵”，所以的符號“∴”；
二、整除判斷方法：
- 能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。
- 能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。
- 能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。
- 能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。
- 能被7整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的2倍後能被7整除。 - 能被11整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。
②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。
③逐次去掉最後一位數字並減去末位數字後能被11整除。 - 能被13整除：
①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。
②逐次去掉最後一位數字並減去末位數字的9倍後能被13整除。
三、整除的性質： - 如果a、b能被c整除，那麼（a+b）與（a-b）也能被c整除。
- 如果a能被b整除，c是整數，那麼a乘以c也能被b整除。
- 如果a能被b整除，b又能被c整除，那麼a也能被c整除。
- 如果a能被b、c整除，那麼a也能被b和c的最小公倍數整除。
18．餘數及其應用
基本概念：對任意自然數a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那麼r叫做a除以b的餘數，q叫做a除以b的不完全商。
餘數的性質：
①餘數小於除數。
②若a、b除以c的餘數相同，則c|a-b或c|b-a。
③a與b的和除以c的餘數等於a除以c的餘數加上b除以c的餘數的和除以c的餘數。
④a與b的積除以c的餘數等於a除以c的餘數與b除以c的餘數的積除以c的餘數。
19．餘數、同餘與週期
一、同餘的定義：
①若兩個整數a、b除以m的餘數相同，則稱a、b對於模m同餘。
②已知三個整數a、b、m，如果m|a-b，就稱a、b對於模m同餘，記作a≡b(mod m)，讀作a同餘於b模m。
二、同餘的性質：
①自身性：a≡a(mod m)；
②對稱性：若a≡b(mod m)，則b≡a(mod m)；
③傳遞性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，則a≡ c(mod m)；
④和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，則a+c≡b+d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
⑤相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，則a×c≡ b×d(mod m)；
⑥乘方性：若a≡b(mod m)，則an≡bn(mod m)；
⑦同倍性:若a≡ b(mod m)，整數c，則a×c≡ b×c(mod m×c)；
三、關於乘方的預備知識：
①若A=a×b，則MA=Ma×b=（Ma）b
②若B=c+d則MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除後的餘數特徵：
①一個自然數M，n表示M的各個數位上數字的和，則M≡n(mod 9)或（mod 3）；
②一個自然數M，X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，則M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、費爾馬小定理：如果p是質數（素數），a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1≡1(mod p)。
20．分數與百分數的應用
基本概念與性質：
分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。
分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數（0除外），分數的大小不變。
分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。
百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。
常用方法：
①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結果）進行思考。
②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所佔的率的直接對應關係。
③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換成倍數關係；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。
④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成立，計算出相應的結果，然後再進行調整，求出最後結果。
⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發生變化，總量不變。B、總量發生變化，但其中有的分量不變。C、總量和分量都發生變化，但分量之間的差量不變化。
⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關係單一化、量率關係明朗化。
⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規律進行處理。
⑧濃度配比法：一般應用於總量和分量都發生變化的狀況。
21．分數大小的比較
基本方法：
①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關係比較。
②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關係比較。
③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。
④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。
⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用同倍率的變化關係比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規律）
⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）後進行比較。
⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和1進行比較。
⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。
⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然後確定原數的大小。
⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較。
22．分數拆分
一、 將一個分數單位分解成兩個分數之和的公式：
① =+；
②=+（d為自然數）；
23．完全平方數
完全平方數特徵：
- 末位數字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。
- 除以3餘0或餘1；反之不成立。
- 除以4餘0或餘1；反之不成立。
- 約數個數為奇數；反之成立。
- 奇數的平方的十位數字為偶數；反之不成立。
- 奇數平方個位數字是奇數；偶數平方個位數字是偶數。
- 兩個相臨整數的平方之間不可能再有平方數。
平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y）
完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2
24．比和比例
比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號後面的數叫比的後項。
比值：比的前項除以後項的商，叫做比值。
比的性質：比的前項和後項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。
比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或
比例的性質：兩個外項積等於兩個內項積(交叉相乘)，ad=bc。
正比例：若A擴大或縮小几倍，B也擴大或縮小几倍（AB的商不變時），則A與B成正比。
反比例：若A擴大或縮小几倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。
比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。
按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配。
25．綜合行程
基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關係.
基本公式：路程=速度×時間；路程÷時間=速度；路程÷速度=時間
關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。
相遇問題：速度和×相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）
追及問題：追及時間＝路程差÷速度差（寫出其他公式）
流水問題：順水行程=（船速+水速）×順水時間
逆水行程=（船速-水速）×逆水時間
順水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
靜水速度=（順水速度+逆水速度）÷2
水 速=（順水速度-逆水速度）÷2
流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。
過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。
主要方法：畫線段圖法
基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個量，求第三個量。
26．工程問題
基本公式：
①工作總量=工作效率×工作時間
②工作效率=工作總量÷工作時間
③工作時間=工作總量÷工作效率
基本思路：
①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；
②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述三個基本關係，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.
關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關係。
經驗簡評：合久必分，分久必合。
27．邏輯推理
基本方法簡介：
①條件分析—假設法：假設可能情況中的一種成立，然後按照這個假設去判斷，如果有與題設條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那麼與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那麼a一定是奇數。
②條件分析—列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的物件與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規律進行判斷。
③條件分析——圖表法：當兩個物件之間只有兩種關係時，就可用連線表示兩個物件之間的關係，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態，沒有連線則表示否定的狀態。例如A和B兩人之間有認識或不認識兩種狀態，有連線表示認識，沒有表示不認識。
④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。
⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特徵和資料，分析其中存在的規律和方法，並從特殊情況推廣到一般情況，並遞推出相關的關係式，從而得到問題的解決。
28．幾何面積
基本思路：
在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、翻折、分解、變形、重疊等，使不規則的圖形變為規則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些常規的面積規律。
常用方法：
- 連輔助線方法
- 利用等底等高的兩個三角形面積相等。
- 大膽假設（有些點的設定題目中說的是任意點，解題時可把任意點設定在特殊位置上）。
- 利用特殊規律
①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等於等腰直角三角形的面積）
②梯形對角線連線後，兩腰部分面積相等。
③圓的面積佔外接正方形面積的78.5%。
29．立體圖形
名稱 圖形 特徵 表面積 體積
長方體 8個頂點；6個面；相對的面相等；12條稜；相對的稜相等； S=2(ab+ah+bh) V=abh
=Sh
正方體 8個頂點；6個面；所有面相等；12條稜；所有稜相等； S=6a2 V=a3
圓柱體 上下兩底是平行且相等的圓；側面展開後是長方形； S=S側+2S底 S側=Ch V=Sh
圓錐體 下底是圓；只有一個頂點；l:母線，頂點到底圓周上任意一點的距離； S=S側+S底 S側=rl V=Sh
球體 圓心到圓周上任意一點的距離是球的半徑。 S=4r2 V=r3
30．時鐘問題—快慢表問題
基本思路：
1、 按照行程問題中的思維方法解題；
2、 不同的表當成速度不同的運動物體；
3、 路程的單位是分格（表一週為60分格）；
4、 時間是標準表所經過的時間；
合理利用行程問題中的比例關係；