「學習筆記」tarjan 求最近公共祖先

Tarjan 演算法是一種 離線演算法，需要使用並查集記錄某個結點的祖先結點。
並沒有傳說中的那麼快。

過程

將詢問都記錄下來，將它們建成正向邊和反向邊。
在 dfs 的過程中，給走過的節點打上標記，同時維護並查集，這裡利用了回溯的思想，如果 \(u\) 節點的這棵子樹沒搜完，那麼 fa[u] = u;，搜完後，在更新並查集。
我們假設查詢 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先，搜到節點 \(u\)，如果另一個節點 \(v\) 已經被搜到過了，那麼 \(v\) 點的並查集祖先就是 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先。

如果第一次查詢 \(v\) 點時，發現 \(v\) 點已經被搜到了，說明 \(u\) 和 \(v\) 點在同一棵子樹中，並且這個子樹是所有包括了 \(u\) 點和 \(v\) 點的子樹中 siz 最小的，這棵子樹的根也是在所有符合條件的子樹的根中離 \(u\) 和 \(v\) 最近的，即這棵子樹的根就是 \(u\) 和 \(v\) 的最近公共祖先，而 \(v\) 的並查集祖先就是這個根節點。

程式碼

結構體記錄詢問

int cnt = 1;

struct query {
	int v, lca, nxt;
} q[N << 1];

記錄詢問、初始化

for (int i = 1, x, y; i <= m; ++ i) {
	scanf("%d%d", &x, &y);
	add_query(x, y);
	add_query(y, x);
}
for (int i = 1; i <= n; ++ i) {
	fa[i] = i;
}

tarjan、並查集

void tarjan(int u) {
	fa[u] = u;
	vis[u] = 1;
	for (int v : son[u]) {
		if (!vis[v]) {
			tarjan(v);
			fa[v] = u;
		}
	}
	int v;
	for (int i = h[u]; i; i = q[i].nxt) {
		if (vis[v = q[i].v]) {
			q[i].lca = q[i ^ 1].lca = find(v);
		}
	}
}

fa[u] = u; 是為了保證在 \(u\) 這棵子樹沒有搜完的情況下，讓它子樹裡的節點的並查集找祖先時找到的是它。