無向圖上的 Tarjan
定義：
- \(dfn_u\)：點 \(u\) 的時間戳，記錄點 \(u\) 是 DFS 過程中被訪問的時間。
- \(low_u\)：記錄點 \(u\) 經過至多一條非樹邊，所能達到的 dfn 最小的節點。
對於 DFS 中每一條遍歷到的邊 \((u,v)\)：
- 若搜尋樹上 \(v\) 是 \(u\) 的兒子，即邊 \((u,v)\) 是樹邊，則有 \(low_u\gets \min(low_u, low_v)\)。
- 否則邊 \((u,v)\) 一定是返祖邊，即 \(v\) 是 \(u\) 的祖先，則有 \(low_u=\min(low_u,dfn_v)\)。
- 可以發現對無向圖進行 DFS 遍歷時，是不可能存在橫叉邊的。
割點
一個點是割點的充要條件是：
- 若點 \(u\) 為搜尋樹的根，且 \(u\) 有兩個以上的兒子，則 \(u\) 是割點。
- 否則，如果存在 \(u\) 的一個兒子 \(v\)，滿足 \(low_v\ge dfn_u\)，則 \(u\) 是割點。
點雙連通分量
- DFS 過程中，用棧來儲存被訪問過的點。
- 對於點 \(u\)，如果它的兒子 \(v\) 滿足 \(low_v\ge dfn_u\)，則 \(u\) 是割點。不斷彈棧，直到彈出 \(v\)；此時彈出的點和 \(u\) 就構成了一個點雙。
- DFS 結束後，棧中剩下的點們構成一個點雙。
- 割點會存在於多個點雙之中，其他點以及每一條邊只會存在一個點雙裡。
割邊
- 首先非樹邊不可能成為割邊。
- 對於樹邊 \((u,v)\)，其中 \(u\) 是 \(v\) 的父親；如果 \(low_v > dfn_u\)，則邊 \((u,v)\) 是割邊。
- 或者如果 \(low_u = dfn_u\)，則 \(u\) 和 \(u\) 的父親之間的樹邊是割邊。
- 原理就是如果 \(v\) 無法透過返祖邊和 \(u\) 的祖先聯通，則 \((u,v)\) 是割邊。
邊雙連通分量
- 同樣建立棧，將遍歷到的點依次壓入棧中。
- 如果 \(low_u = dfn_u\)，則 \(u\) 和 \(u\) 的父親是割邊；則不斷彈棧，直到彈出點 \(u\)。然後將這些剛彈出的點歸入一個邊雙中。
- 割邊不會存在於任何一個邊雙裡；其餘邊和所有點會恰好存在於一個邊雙裡。
- 容易發現，縮完點後的圖會變成一棵優美的樹。
有向圖上的 Tarjan
定義：
- \(dfn_u\)：點 \(u\) 的時間戳，記錄點 \(u\) 是 DFS 過程中被訪問的時間。
- \(low_u\)：記錄點 \(u\) 經過至多一條返祖邊，所能達到的 dfn 最小的節點。
強連通分量
定義：
- 如果兩個點 u,v，存在 u 到 v 的路徑，且存在 v 到 u 的路徑，則稱這兩個點強連通。
- 所有點都強連通的圖稱為強連通圖。
- 我們把圖中極大的強連通子圖稱為強連通分量。
求法：
- 同樣開一個棧，將 dfs 到的點依次壓入棧裡面。
- 每次更新 \(low_u\) 時，如果是橫叉邊且那個點無法回到 \(u\) 的某個祖先（即那個點不在棧裡面）則無視。
- 當 \(dfn_u=low_u\) 時，則不斷彈棧，直到彈出 \(u\)，然後將這些點歸入一個 SCC 中。
- 縮完點後的圖是個 DAG。