相關連結
相關概念：https://oi-wiki.org/graph/concept/
題單：https://www.luogu.com.cn/training/576466#problems
強連通分量
Tarjan 可以用於求強連通分量，然後就可以縮點了。
具體的，我們建出一個 dfs 樹，設 \(dfn_u\) 為 \(u\) 被訪問的編號，\(low_u\) 表示 \(u\) 能連到最靠祖先的 \(dfn\)。
那麼在從 \(u\) 搜尋 \(v\) 時，我們將 \(u\) 先入棧，可以知道：
- 如果一個點未被訪問，那麼 \(low_u = low_v\)，因為 \(v\) 可以到的地方，\(u\) 一定可以到。
- 如果一個點已被訪問，且在棧中，那麼 \(low_u=dfn_v\)，原因是這時 \(v\) 是 \(u\) 的祖先。
- 其他情況不用管。
注意到一個強連通分量有且僅有一個點使得 \(low_u=dfn_u\)，那就是該分量的起始節點，那麼這個強連通分量的所有的點在 Tarjan 演算法的棧中在 \(u\) 之後。
相關題目：B3609 [圖論與代數結構 701] 強連通分量。
程式碼
void dfs(int u) {
vis[u]=1;
low[u]=dfn[u]=++dfncnt;
stk[++stktop]=u;
for(auto v:G[u]) {
if(!dfn[v]) dfs(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u]) {
anscnt++;
while(1) {
int v=stk[stktop--];
vis[v]=0;
ans[anscnt].push_back(v);
if(v==u) break;
}
sort(ans[anscnt].begin(),ans[anscnt].end());
}
}
縮點
我們學會了如何去搜強連通分量，那麼把這些強聯通分量縮成一個點，就是縮點。
一張有向圖，縮點之後會變成一個 DAG。
相關題目：【模板】縮點。
程式碼
int n,m;
int val[maxn],totval[maxn];
vector<int> G[maxn];
int low[maxn],dfn[maxn],dfncnt;
int stk[maxn],top,anscnt,bel[maxn];
bool vis[maxn];
int a[maxn],b[maxn];
int deg[maxn],dep[maxn],dp[maxn];
void dfs(int u) {
vis[u]=1;
dfn[u]=low[u]=++dfncnt;
stk[++top]=u;
for(int v:G[u]) {
if(!dfn[v]) dfs(v),low[u]=min(low[u],low[v]);
else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(dfn[u]==low[u]) {
anscnt++;
while(1) {
int v=stk[top--];
vis[v]=0;
bel[v]=anscnt;
if(u==v) break;
}
}
}
signed main() {
in2(n,m);
For(i,1,n) in1(val[i]);
For(i,1,m) {
in2(a[i],b[i]);
G[a[i]].push_back(b[i]);
}
For(i,1,n) if(!dfn[i]) dfs(i);
For(i,1,n) G[i].clear(),totval[bel[i]]+=val[i];
For(i,1,m) a[i]=bel[a[i]],b[i]=bel[b[i]];
For(i,1,m) if(a[i]!=b[i]) G[a[i]].push_back(b[i]),deg[b[i]]++;
queue<int> q;
For(i,1,n) if(!deg[i]) q.push(i),dp[i]=totval[i];
int ans=0;
while(!q.empty()) {
int u=q.front(); q.pop();
for(int v:G[u]) {
dep[v]=dep[u]+1;
dp[v]=max(dp[v],dp[u]+totval[v]);
deg[v]--;
if(!deg[v]) q.push(v);
}
ans=max(ans,dp[u]);
}
cout<<ans<<'\n';
}