藍書的那一套理論比較生硬，且不是很深刻，故重學Tarjan。AlexWei《圖論Ⅰ》
相關定義
割點：在無向圖中，刪去使得連通分量數增加的點被稱為割點。
割邊：在無向圖中，刪去使得連通分量數增加的邊被稱為割邊。
點雙連通圖：不存在割點的無向圖。
邊雙連通圖：不存在割邊的無向圖。
點雙連通分量：一張圖的極大點雙連通子圖稱為點雙連通分量（V-BCC），簡稱點雙。
邊雙連通分量：一張圖的極大邊雙連通子圖稱為邊雙連通分量（E-BCC），簡稱邊雙。
縮點：把一個連通分量等價為一個點的操作。邊雙和點雙縮點後均得到一棵樹，而強連通分量縮點後得到一張DAG。
基本性質
邊雙連通
考慮割邊兩側的兩個點 \(u,v\)。由於刪去割邊 \(u,v\) 不連通，所以這條割邊在任何一條 \(u\) 到 \(v\) 的跡上，否則刪去後 \(u,v\) 仍連通。
兩點之間的所有必經邊，就是連線它們所有跡的交。
在研究必經邊時，重複經過一條邊是不優的，所以只需考慮兩點之間的跡（路徑邊集不重複）。
不難發現，割邊和必經邊的概念是完全等價的。\(u, v\) 雙連通當且僅當 \(u, v\) 之間不存在必經邊。
斷開一條割邊會使連通塊數 +1。斷開所有割邊，每個連通塊中不含割邊且不能再擴大，是原圖的邊雙連通分量。
這說明邊雙連通分量由割邊連線，邊雙縮點得到一顆樹，每條邊都是原圖割邊。
任意新增一條邊 \((u, v)\)，任意 \(u, v\) 簡單路徑上的邊不再是割邊了，即該路徑上的所有邊雙會被縮成一個大邊雙。
傳遞性：若 \(u, v\) 雙連通，\(v, w\) 雙連通，則 \(u, w\) 雙連通。
證明：\(u, v\) 之間跡的交集為空（沒有必經邊），空集與空集取交還為空，因此 \(u, w\) 之間沒有必經邊。
結論：邊雙的點集兩兩無交，每個點恰屬於一個邊雙，根據傳遞性易證。
結論：對於邊雙內任意一條邊 \((u,v)\)，存在經過 \((u,v)\) 的迴路；對於任意一點 \(u\)，存在經過 \(u\) 的迴路（除孤立點）。
證明：考慮邊 \((u, v)\)，將其刪去後仍能得到一條 \(u, v\) 的路徑，將該路徑與 \((u, v)\) 拼起來，即可得到穿過 \(u, v\) 的迴路。
點雙連通
與邊雙不同，兩個點雙可能有交，例如 "8字形"，中間的交點在兩個點雙都出現了。
因此點雙不具有傳遞性。但如果兩個點雙有交，交點一定唯一，否則兩個點雙可以合併。
結論：若兩點雙有交，那麼交點一定是割點。如果刪去交點後兩點雙仍然連通，則可以合併。
引理：若兩點點雙連通，那麼包含這兩點的點雙唯一。不唯一則出現兩個交點，矛盾。
現在已經知道點雙交點是割點，那麼割點一定是點雙交點嗎？刪去割點，考慮割點的兩個鄰居 \(u, v\)。
根據定義，\(u, v\) 不連通，則 \(u, v\) 不屬於一個點雙。
結論：一個點是割點當且僅當屬於超過一個點雙（上面充分性和必要性都有證明）。
結論：由一條邊直接相連的兩點點雙連通。
推論：一條邊恰屬於一個點雙。\((u, v)\) 連線的 \(u, v\) 屬於一個點雙，如果他們同時屬於另一個點雙則產生矛盾。
正如割邊是連線邊雙的「橋樑」，割點也是連線點雙的橋樑。
用一個點代表一個點雙，並將這個代表點向與之相連的割點連邊，得到塊割樹。
考慮刪去點雙中的一個點 \(x\)，剩下所有點連通。
如果度數大於 \(1\)，對於其不同的兩個鄰居 \(u, v\)，將新圖中 \(u, v\) 的路徑與 \(x\) 相連，得到經過 \(x\) 的簡單環。
若度數等於 \(1\)，則整個點雙為"一邊連兩點"的平凡形態，即只可能在 \(n = 2\) 的時候出現。
如果 \(n \ge 3\) 且存在 \(d(u) = 1\)，設與其直接相連的唯一點為 \(v\)，刪去 \(v\) 後 \(u\) 與整張圖不連通，矛盾。
結論：對於 \(n \ge 3\) 的點雙中任意一點 \(u\)，存在經過 \(u\) 的簡單環。
Tarjan求割點
無向圖DFS樹
給定無向連通圖 \(G\)，從 \(r\) 開始 dfs。取出進入每個點時的邊 \((fa_i,i)\) 稱為樹邊，其它為非樹邊，得到以 \(r\) 為根的樹。
無向圖 DFS 樹的性質：
- 祖先後代性：任意非樹邊兩端具有祖先後代關係。
- 子樹獨立性：節點的每個兒子的子樹之間沒有邊（和上一條性質等價）。
- 時間戳區間性：子樹時間戳為一段連續區間。
- 時間戳單調性：節點的時間戳小於其子樹內的時間戳。
後兩點比較顯然，證一下前兩點，對於 \(u\) 所有的出邊 \(v\)：
\(v\) 還沒遍歷到，未來一定在 \(u\) 的子樹中（不一定是兒子）；\(v\) 已經被遍歷到，\(u\) 對於 \(v\) 來說是沒被遍歷，\(u\) 在 \(v\) 的子樹中。
非根節點的割點判定
記 \(x\) 的子樹 \(T(x)\) 為 \(x\) 在 DFS 樹上的子樹，記 \(T(x)^\prime = V\setminus T(x)\)，即整張圖除 \(T(x)\) 以外的部分。
設 \(x\) 不為根，則 \(T^\prime(x) \ne \emptyset\)，
刪掉 \(x\) 之後 \(T(x)^\prime\) 透過樹邊相連仍然連通，若 \(x\) 是割點則存在 \(z \in T^\prime(x)\) 與 \(y\) 不連通，顯然 \(y \in T(x)\)。
由於 \(y, z\) 不連通，\(T^\prime(x)\) 連通，則 \(y\) 與整個 \(T^\prime(x)\) 不連通。反之如果存在 \(y\) 與 \(T^\prime(x)\) 不連通，\(x\) 一定是割點。
條件等價於任意 \(y \in T(x)\) 不經過 \(x\) 能到達點均屬於 \(T(x)\)。
如果 \(y \in T(x)\) 不經過 \(x\) 就與 \(T^\prime(x)\) 連通，一定存在 \(y\) 到 $v \in T^\prime(x) $ 的路徑，使得 \(v\) 是路徑中第一個屬於 \(T^\prime(x)\) 的點。
設 \(u\) 為路徑中倒數第二個點，有 \(u \in T(x)\)。如果 \((u, v)\) 是樹邊，則 \(u = x\)，矛盾。
所以 \((u, v)\) 是非樹邊，\(v\) 是 \(u\) 的祖先，同理 \(v\) 也是 \(x\) 的祖先，一定有 \(d_v < d_u\)。
進一步的，由於 \(x\) 的不同兒子之間沒有非樹邊（子樹獨立性），設 \(x\) 的兒子 \(y^\prime\) 是 \(y\) 的祖先，則 \(u \in T(y^\prime)\)。
因此，如果 \(y\) 能夠不經過 \(x\) 和 \(T^\prime(x)\) 連通，則存在 \(u \in T(y^\prime)\) 滿足 \(u\) 有一條非樹邊與 \(x\) 的祖先直接相連。
設 \(f_x\) 表示 \(x\) 透過非樹邊能（直接）到達的最小時間戳。
\(x\) 不是割點的條件可以寫成：對於任意兒子 \(y^\prime\)，都存在 \(u \in T(y^\prime)\)，使得 \(f_u < d_x\)。
如果存在 \(f_u < d_x\)，\(u\) 直接與 \(T^\prime(x)\) 相連，\(y^\prime\) 的其他點先透過樹邊先 \(u\) 相連，再間接與 \(T^\prime(x)\) 連通；
否則刪掉 \(x\) 後任意 \(y^\prime\) 子樹內的點都不與 \(T^\prime\) 連通，\(x\) 是割點。
得到非根節點的割點判定法則：如果存在兒子 \(y^\prime\)，使得 \(\min_{ u \in T(y^\prime)}f_u \ge d_x\)，則 \(x\) 是割點。
設 \(g_x\) 表示 \(x\) 子樹內 \(f_u\) 的最小值（low 陣列的真正含義）：
當且僅當存在 \(x\) 的兒子 \(y\) 滿足 \(g_{y} \ge d_x\)，\(x\) 是割點。
根據上述 DP 的定義，\(g_x\) 顯然是初始化成 \(\inf\)。當然初始化成 \(d_x\) 也不會有錯，程式碼上只是多一行少一行的區別。
（感覺聽魏老師講完，整個人都清澈了！）
根的割點判定法則
若 \(x\) 在 DFS 樹上有 \(> 1\) 個兒子，根據子樹獨立性，\(x\) 的兒子兩兩不連通，\(x\) 是割點。
如果 \(x\) 只有一個兒子 \(y\)，刪掉 \(x\) 後 \(T(y)\) 仍然連通，\(x\) 不是割點。
割邊求法
Tarjan
探究 \(e = (u, v)\) 是割邊的充要條件。
樹邊使整張圖連通，割斷非樹邊不影響連通性，因此 \(e\) 是割邊的一個必要條件是 \(e\) 是樹邊。
不妨設 \(v\) 是 \(u\) 的兒子，如果割點 \(e\) 後圖不連通，只能分成 \(T(v)\) 和 \(T^\prime(v)\) 兩部分，因為其內部都透過樹邊連通。
這說明 \(T(v)\) 的所有節點都必須經過 \(e\) 才能到達 \(T^\prime(v)\)。
如果存在 \(w \in T(v)\)，\(w\) 能過透過一條非樹邊到達 \(u\) 或其祖先，則 \(e\) 不是割邊，即 \(\min_{w \in T(v)} f_w = g_v \le d_u\)。
割邊判定法則：對於樹邊 \(e = (u, v)\)，\(v\) 是 \(u\) 的兒子，\(e\) 是割邊當且僅當 \(g_v > d_u\)。
樹上差分
已經知道樹邊是割邊的一個必要條件。
如果存在非樹邊 \((u, v)\)，那麼搜尋樹上 \(u \to v\) 的簡單路徑上所有樹邊都不是割邊了。
怎麼刻畫一條樹邊有沒有被非樹邊覆蓋？把邊 \((i, fa_i)\) 的覆蓋次數當做 \(i\) 的點權，樹上差分後求子樹和。
邊雙連通分量縮點
由於每個點恰屬於一個邊雙，把每個割邊割斷後剩下的每個連通塊都是一個邊雙。
可以先 Tarjan 給所有割邊打上標記，再 dfs 找連通分量，但太麻煩。