UESTC__ACM 1264 人民幣的構造

Irie_Haisenburg發表於2023-04-11
ACM

連結地址：https://acm.uestc.edu.cn/contest/198/problem/J

我們都知道人民幣的面值是1、2、5、10，為什麼是這個數值呢，我們分析了下發現，從的每個數字都可以由每種面值選出至多一張透過加法和減法（找錢）來構成，（比如：1+2=3，5−1=4，5+1=6，5+2=7，1+2+5=8，10−1=9，）

但是實際上，我們只需要1、2、7三種面值就可以組成的每一個數字了

（1+2=3，7−1−2=4，7−2=5，7−1=6，7+1=8，7+2=9，7+1+2=10）

那麼現在問題來了，給一個數，請問最少需要多少種不同的面值就可以構成從的所有數字，注意在構成每一個數字時同種面值不能超過張。

Standard Input

一個數字（1<=<=100000）、

Standard Output

一個數字，代表最少需要多少種不同的面值可以構成從的所有數字。

Samples

Input Output 
10
 
3
Time Limit 1000 ms
Memory Limit 64 MiB
Output Limit 64 MiB

 

題解與思路：

方法一思路：將該題的實質轉化為三進位制問題，如果加面額則為+1，減去面額則為-1，不用該面額的紙幣則為0；所以n張紙幣則有3n種情況（打個比方：如果有兩張紙幣，則狀態共有0 0,1 0,-1 0,0 1,1 1,-1 1,0 -1,1 -1,-1 -1共9種），首先很明顯能除去n張紙幣狀態全為0的情況，剩餘3n-1種情況，剩餘情況中有一半面額之和為負。舉個例子：目前有兩張紙幣面額分別為1，3，則有32-1=8種情況，即1+0=1 , 3-1=2 , 3+0=3 , 3+1=4 , -1+0=-1 , 1-3=-2 , -3+0=-3 , -1+(-3)=-4,可以看出，正數情況和負數情況是相等的，所以正情況一共有3n-1/2種

疑問：正情況只代表了最大值和最小值的取值範圍，怎麼能夠證明出這個範圍區間內的所有值都能取到？

證明：利用數學歸納法，很明顯，k=1時明顯成立（1元最少只用一張紙幣,紙幣面額為1），k=3時，能表示[1~4]的所有面額，表示的最大數剛好為正情況的最多種數(即3n-1/2種)，假設k=n-1時也成立（紙幣面額為1，3，9······3n-2)此時n-1張紙幣能表示的範圍為[1~3n-1-1/2]，當k=n時（紙幣面額為1，3······3n-1即新增加的面額為3n-1），新增加的表示範圍為[3n-1+1/2~3n-1/2]=>證明1：因為k=n-1時所能表示的正範圍為[1~3n-1-1/2]，由上面的思路可得，負數和正數的情況是對稱的，所以能表示的全範圍應該是[-（3n-1-1/2）~3n-1-1/2]，此時加上一個新的數3n-1，則將整個區間向前位移3n-1

得新增加的區間[3n-1+1/2~3n-1/2]。此時將新增加的區間和原區間進行合併可得k=n所能表示的區間為[1~3n-1/2]（3n-1/2不是整數！），故得證；

方法二思路：不妨設目前能表示的範圍為[1~M],此時增加一個數Q>M，由上面證明中的證明1可得，新增加的可表示範圍為[Q-M~Q+M]，要使得增加一個數Q後的區間所能表示的範圍更大，並且區間連續無中斷，即Q-M=M+1 => Q=2*M+1，所以增加Q後的最大表示範圍為[1~3*M+1]，由於我們能知道當人民幣面額為1時所能表示的區間為[]1~1]，此時只要區間最大值M不超過n，則可以增加一個數Q，使得區間最大值變為3*M+1，直到n包含在區間內；

方法二的實現程式碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
   int n,max=1,count=1;
   cin>>n;
   if(n==1)
   cout<<count<<endl;
   else
   {
     while(max<n)
     {
         max=3*max+1;
         count++;  
     } 
   cout<<count<<endl;
   }
   return 0;

}

 

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