blog。寫一個題解區沒有的蠢做法，不依賴 dp 但是很難轉到 Hard Version（
對於已經確定的序列，深度有單調性。就是如果答案為 \(x\)，那麼肯定能選出深度為 \(1\sim x\) 的子序列。
記 \(\operatorname{check}_s(x)\) 表示 check 序列 \(s\) 能否選出深度為 \(x\) 的子序列。考慮如何 check：
- 發現形如 \(\texttt{((}\cdots\texttt{(())}\cdots\texttt{))}\) 的結構最優。
- 記 \(pre_i\) 表示 \([1,i]\) 中
(的數量，\(suf_i\) 表示 \([i,n]\) 中)的數量，只需滿足：\(\exists\min(pre_i,suf_{i+1})\ge x\)。 - 找到序列第一個 \(pre_i=x\) 的位置，檢驗是否有 \(suf_{i+1}\ge x\) 即可。
顯然，對於確定序列有 \(\text{ans}_s=\sum\limits_{x=1}^n \operatorname{check}_s(x)\)。
回到原問題，列舉 \(x=1\sim n\)，權值和轉為了計數：只需計數 \(\operatorname{check}_s(x)=1\) 的 \(s\) 數量，所有 \(x\) 的方案數加起來就行！
最後將上述 \(\operatorname{check}_s(x)\) 的過程放到計數上就行：
- 列舉 \(i\)，這個 \(i\) 需要滿足：是序列第一個 \(pre_i=x\) 的位置，且有 \(suf_{i+1}\ge x\)。
- 若 \(s_i=\texttt{(}\)，前半段在 \(\texttt{?}\) 中湊夠左括號數就行，後半段在 \(\texttt{?}\) 中湊到 \(\ge x\) 就行。有貢獻：
\[\binom{\text{字首 }\texttt{?}\text{ 的數量}}{x-\text{字首 }\texttt{(}\text{ 的數量}}\times\sum\limits_{x-\text{字尾 }\texttt{)}\text{ 的數量}}^{\text{字尾 }\texttt{?}\text{ 的數量}}\binom{\text{字尾 }\texttt{?}\text{ 的數量}}{i}
\]
- 若 \(s_i=\texttt{(}\)，前半段稍微改改就行，有貢獻
\[\binom{\text{字首 }\texttt{?}\text{ 的數量}-1}{x-\text{字首 }\texttt{(}\text{ 的數量}-1}\times\sum\limits_{x-\text{字尾 }\texttt{)}\text{ 的數量}}^{\text{字尾 }\texttt{?}\text{ 的數量}}\binom{\text{字尾 }\texttt{?}\text{ 的數量}}{i}
\]
後面 Sigma 的部分可以預處理，然後列舉 \(x,i\) 後就能 \(O(1)\) 計算。
code，時間複雜度 \(O(n^2)\)。