[ARC112F] Die Siedler 題解

JiaY19發表於2024-10-07

智慧題。

思路

考慮第二種操作。

我們會想到，我們可以先把所有牌轉化成第一種牌。

即：

\[one=\sum_{i=1}^n\prod_{j=1}^i 2^{j-1}(j-1)!c_i \]

這就是第一種牌的數量。

然後考慮，我們可以將第一種牌轉化為第一種牌，花費的代價為：

\[g=(\prod_{i=1}^n 2^{i-1}(i-1)!)-1 \]

相當於對 \(g\) 取模。

類似的，我們可以把所有牌包也轉化為 \([0,g)\) 中的一個整數。

我們現在，就需要用這些東西不斷的去湊。

假如我們最初是 \(s\)，想要湊出 \(t\)。

那麼依據裴蜀定理。

要求：

\[\gcd(s_i,g)|(t-s) \]

這個怎麼解決呢。

我們可以先讓 \(p=\gcd(s_i,g)\)。

然後考慮根號分治。

  1. \(p> \sqrt g\)

    我們發現在這種情況中，我們暴力列舉 \(s+p\times i\)，只有根號種取值，我們暴力計算每一個數的答案，取個 \(\min\) 就可以了。

  2. \(p\le \sqrt g\)

    在這種情況中，由於 \(p\) 很小，我們可以求出每一個餘數在 \([0,p)\) 中的答案。

    具體的我們可以讓每個點 \(i\) 往後連 \(n\) 條邊，表示加一張牌。

    然後就是同餘最短路形式，轉圈解決即可。

打表發現實際次數遠不到根號，所以能過。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int n, m, bg;
int s[55][17];
int f[17];
int b[17];
int c[17];
int a[2000010];
int g[2000010];

inline int sol(int x) {
  if (x == 0) return 1e9;
  int res = 0;
  for (int i = n; i >= 1; i--)
    res += x / f[i], x %= f[i];
  return res;
}

signed main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> c[i];
  for (int i = 1; i <= m; i++)
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      cin >> s[i][j];
  f[1] = 1;
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    f[i] = f[i - 1] * (i - 1) * 2;
  int g = f[n] * n * 2 - 1;
  int l = f[n] * n * 2 - 1;
  for (int i = 1; i <= m; i++) {
    int res = 0;
    for (int j = 1; j <= n; j++)
      res += s[i][j] * f[j];
    g = __gcd(g, res);
  }
  for (int i = 1; i <= n; i++) bg += c[i] * f[i];
  if (g <= 1300000) {
    bg %= g;
    for (int i = 0; i < g; i++) a[i] = 7e18;
    for (int i = 1; i <= n; i++) f[i] = f[i] % g;
    for (int i = 1; i <= n; i++) a[f[i]] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
      int lim = __gcd(f[i], g);
      for (int k = 0; k < g; k += lim) {
        for (int j = 0; j < lim; j++) {
          int l = j + k, r = j + k + f[i];
          if (r >= g) r -= g;
          a[r] = min(a[r], a[l] + 1);
        }
      }
      for (int k = 0; k < g; k += lim) {
        for (int j = 0; j < lim; j++) {
          int l = j + k, r = j + k + f[i];
          if (r >= g) r -= g;
          a[r] = min(a[r], a[l] + 1);
        }
      }
    }
    cout << a[bg] << "\n";
  } else {
    int ans = 7e18;
    for (int i = bg % g; i <= l; i += g) {
      ans = min(ans, sol(i));
    }
    cout << ans << "\n";
  }
}

相關文章