題意
給定一張無向圖，選取四個點 \(a \ne b \ne c \ne d\)，求 \(f(a, b) + f(b, c) + f(c, d)\) 的最大值，其中 \(f(u, v)\) 表示點 \(u\) 到點 \(v\) 的最短路長度。
題解
如果順著列舉四個點 \(a\)、\(b\)、\(c\)、\(d\)，是一個 \(n^4\) 的複雜度，顯然過不了。
但是我們發現如果確定了 \(a\)、\(b\)、\(c\)，那麼 \(d\) 可以貪心找到離 \(c\) 最遠的且不為 \(a\)、\(b\) 的點。
複雜度降到了 \(n^3\)，但還是過不了（賽時就分析到了這裡就沒往下想了）。
但 \(b\) 點也同理，\(b\) 點確定了，找最遠的 \(a\) 即可。
我們維護一個 \(g(u)\)，表示離 \(u\) 點最遠的點即可。
但是不對，題目要求 \(a \ne b \ne c \ne d\)，倘若 \(g(b) = c\)，就無法滿足條件，就成功地掛了。
所以我們需要維護一個 \(g(u, 0 \sim 2)\)，表示離 \(u\) 最遠、次遠、次次遠的點。
此時就很好解決了。
說說前面的最短路。
如果直接跑弗洛伊德會爆掉，但是由於邊權為 \(1\)，所以可以跑 \(n\) 次 bfs，時間複雜度從 \(n^3\) 降到了 \(nm\)（賽時這個我也沒想到）。
時間複雜度：\(\mathcal O(nm + n^2)\)。
namespace zqh {
const int N = 4005;
int n, m, dis[N][N];
int far[N][3];
vector<int> g[N];
il void bfs(int s) { // 求以 s 為起點的最短路
queue<int> q;
q.push(s);
dis[s][s] = 0;
while (q.size()) {
int u = q.front();
q.pop();
for (int v : g[u]) {
if (!dis[s][v]) {
dis[s][v] = dis[s][u] + 1;
q.push(v);
}
}
}
}
il void init() {
cin >> n >> m;
for (rg int i = 1; i <= m; i++) {
int x, y;
cin >> x >> y;
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
}
il void solve() {
for (rg int i = 1; i <= n; i++) {
bfs(i);
dis[i][0] = -1;
}
for (rg int i = 1; i <= n; i++) { // far 就是上文的 g
for (rg int j = 1; j <= n; j++) {
// cout << dis[i][j] << " ";
if (dis[i][j] == 0x3f3f3f3f3f3f3f3f || i == j)
continue;
if (dis[i][far[i][2]] < dis[i][j]) { // 一個判前三大的好方法
far[i][2] = j;
}
if (dis[i][far[i][1]] < dis[i][far[i][2]]) {
swap(far[i][1], far[i][2]);
}
if (dis[i][far[i][0]] < dis[i][far[i][1]]) {
swap(far[i][0], far[i][1]);
}
}
// cout << endl;
}
// for (int i = 1; i <= n; i++) {
// cout << far[i][0] << " " << far[i][1] << " " << far[i][2] << endl;
// }
int ans = 0;
for (rg int b = 1; b <= n; b++) {
for (rg int c = b + 1; c <= n; c++) { // 列舉 b、c
for (rg int i = 0; i < 3; i++) {
for (rg int j = 0; j < 3; j++) { // 列舉第幾大
int a = far[b][i], d = far[c][j];
if (a != b && a != c && a != d && b != c && b != d &&
c != d) { // 不能重複
if (dis[a][b] + dis[b][c] + dis[c][d] > ans) {
ans = max(ans, dis[a][b] + dis[b][c] + dis[c][d]); // 統計答案
// cout << a << " " << b << " " << c << " " << d
// << endl;
}
}
}
}
}
}
cout << ans;
}
void main() {
init();
solve();
}
} // namespace zqh