Ciallo～(∠・ω< )⌒★ 我是赤川鶴鳴。本文假設您已經初步瞭解了 Hodgkin-Huxley Model，這裡只是針對其中的公式的一些推導。不會對其優缺點、特性、應用等進行詳述。
物理基礎知識
如果已學習過物理學中電流、電容、電導率的概念，可跳過此節。
首先，讓我們複習一下物理學中電流、電容、電導率的概念。
電流強度是單位時間內透過導體某一橫截面的電荷量，簡稱電流，符號為 \(I\)。
\[I = \dfrac{\text{d}q}{\text{d}t} \tag{1.1}
\]
其中 \(q\) 是電荷量，\(t\) 是時間。
電容量在數值上等於一個導電極板上的電荷量與兩個極板之間的電壓之比，簡稱電容，符號為 \(C\)。
\[C = \dfrac{q}{V} \tag{1.2}
\]
其中 \(q\) 是一個導電極板上的電荷量，\(V\) 是兩個極板之間的電壓。
把式 \((1.2)\) 代入到式 \((1.1)\) 中，則
\[I = \dfrac{\text{d}(CV)}{\text{d}t} = C\dfrac{\text{d}V}{\text{d}t} \tag{1.3}
\]
電導率是用來描述物質中電荷流動難易程度的引數，符號為 \(g\)。
\[g = \dfrac{I}{U} \tag{1.4}
\]
數學基礎知識
如果已學習過微分方程的解法，可跳過此節。
接下來，我們分別推導一階齊次線性微分方程和一階非齊次線性微分方程的通解。
一階齊次線性微分方程的通解推導
例如，有如下的一階齊次線性微分方程
\[\dfrac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = 0 \ \ (y \neq 0)
\]
兩側除以 \(y\) 並乘 \(\text{d}x\)，得
\[\dfrac{\text{d}y}{y} + P(x)\text{d}x = 0
\]
移項，得
\[\dfrac{\text{d}y}{y} = - P(x)\text{d}x
\]
兩側積分，得
\[\int{\dfrac{\text{d}y}{y}} = \int{ - P(x)\text{d}x}
\]
因為 \(\ln{y} + \ln{C}\) 的導數是 \(\dfrac{1}{y}\)，所以
\[\ln y = \int{ - P(x)\text{d}x} + \ln C
\]
換成以自然對數 \(e\) 為底的形式，即
\[e^{\ln{y}} = e^{\int{ - P(x)\text{d}x} + \ln C} = e^{- \int{P(x)\text{d}x}} e^{\ln C}
\]
由於 C 只是一個常數，為了方便，最終通解可寫為
\[y = C e^{- \int{P(x)\text{d}x}} \tag{2.1}
\]
一階非齊次線性微分方程的通解推導
例如，有如下的一階非齊次線性微分方程
\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + P(x)y = Q(x) \tag{2.2}
\]
根據式 \((2.1)\)，令 \(C = u(x)\)，得
\[y = u(x) e^{- \int{P(x)\text{d}x}} \tag{2.3}
\]
帶入原方程 \((2.2)\) 得
\[\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \dfrac{Q(x)}{e^{- \int{P(x)\text{d}x}}}
\]
對 \(\frac{\text{d}u}{\text{d}x}\) 積分得 \(u(x)\) 並帶入式 \((2.3)\) 得
\[y = C e^{- \int{P(x)\text{d}x}} + e^{- \int{P(x)\text{d}x}} \int Q(x) e^{ \int{P(x)\text{d}x}} \text{d}x
\]
Hodgkin-Huxley Model
Hodgkin-Huxley Model 的結構如圖所示，可以看出膜電流 \(I_{\text{m}}\) 是由鈉離子電流\(I_{\text{Na+}}\)、鉀離子電流 \(I_{\text{K+}}\)、漏電電流 \(I_{\text{Leak}}\) 和電容器電流 \(I_{C}\) 組成的，即
\[I_{\text{m}} = I_{\text{Na+}} + I_{\text{K+}} + I_{\text{Leak}} + I_{C} \tag{3.1}
\]
接下來我們依次推導各個通道上的電流計算公式。
通道電流計算公式
鈉離子通道電流
根據式 \((1.4)\)，鈉離子通道上的電流 \(I_{\text{Na+}}\) 就可由下式決定
\[I_{\text{Na+}} \left( V_{\text{m}}, t \right) = g_{\text{Na+}}\left( V_{\text{m}}, t \right) (V_{\text{m}} - E_{\text{Na+}})
\]
其中鈉離子通道上的電導率 \(g_{\text{Na+}}\left( V_{\text{m}}, t \right)\) 是一個與膜電壓 \(V_{\text{m}}\) 和時間 \(t\) 相關的函式。為了更好地研究這個函式，我們使用鈉離子通道在膜電壓 \(V_{\text{m}}\) 和時間 \(t\) 下開啟的機率函式 \(P_{\text{Na+}} \left(V_{\text{m}}, t \right)\)、鈉離子通道的個數 \(N_{\text{Na+}}\) 和單個鈉離子通道的電導率 \(\hat{g}_{\text{Na+}}\) 進行表示，即
\[g_{\text{Na+}}\left( V_{\text{m}}, t \right) = P_{\text{Na+}} \left(V_{\text{m}}, t \right) N_{\text{Na+}} \hat{g}_{\text{Na+}} \tag{3.2}
\]
通常，還使用門限變數來重寫公式 \((3.2)\) 為
\[g_{\text{Na+}}\left( V_{\text{m}}, t \right) = \bar{g}_{\text{Na+}} m^3 \left( V_{\text{m}}, t \right) h \left( V_{\text{m}}, t \right) \tag{3.3}
\]
其中 \(\bar{g}_{\text{Na+}}\) 是鈉離子通道的平均電導率，\(m\) 和 \(h\) 是兩個與膜電壓 \(V_{\text{m}}\) 和時間 \(t\) 相關的門限變數，因為鈉離子通道含有兩種狀態——啟用與非啟用。
鉀離子通道電流
同理，也可以得到鉀離子通道上的電流計算公式
\[I_{\text{K+}} \left( V_{\text{m}}, t \right) = g_{\text{K+}}\left( V_{\text{m}}, t \right) (V_{\text{m}} - E_{\text{K+}})
\]
\[g_{\text{K+}}\left( V_{\text{m}}, t \right) =
P_{\text{K+}} \left(V_{\text{m}}, t \right) N_{\text{K+}} \hat{g}_{\text{K+}}
= \bar{g}_{\text{K+}} n^4 \left( V_{\text{m}}, t \right) \tag{3.4}
\]
漏電通道電流
可以得到漏電通道電流的公式
\[I_{\text{Leak}} = g_{\text{Leak}} (V_{\text{m}} - E_{\text{Leak}})
\]
其中 \(g_{\text{Leak}}\) 是漏電通道上的電導率，\(V_{\text{m}}\) 是膜電壓，\(E_{\text{Leak}}\) 是漏電通道上的電勢差。
電容通道電流
根據公式 \((1.3)\)，可以得到電容通道電流的公式
\[I_{\text{C}} = C_{\text{m}}\dfrac{\text{d}V_{\text{m}}}{\text{d}t}
\]
其中 \(C_m\) 是膜電容，\(V_{\text{m}}\) 是膜電壓，\(t\) 是時間。
電導率計算公式
從式 \((3.3)\) 和 \((3.4)\) 中，我們知道了 \(m\)、\(n\)、\(h\) 三種門限變數，但是其具體的內部構造仍不清楚。我們不妨將門限變數統一設為 \(\varphi(t)\)，並由 \(\alpha_{\varphi}\) 和 \(\beta_{\varphi}\) 兩個因子決定，即
\[\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} = \alpha_{\varphi} (1 - \varphi) - \beta_{\varphi} \varphi \tag{3.5}
\]
整理式 \((3.5)\) ，按照一階非齊次線性微分方程的一般形式，可得
\[\frac{\text{d}\varphi}{\text{d}t} + (\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}) \varphi = \alpha_{\varphi}
\]
這樣根據一階非齊次線性微分方程的通解，可求得
\[\begin{align*}
\varphi(t) &= Ce^{-(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi})t} + e^{-(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi})t} \int \alpha_{\varphi} e^{(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi})t} \text{d} t \\
&= Ce^{-(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi})t} + e^{-(\alpha_{\varphi} + \beta)t} \cdot \dfrac{\alpha_{\varphi}}{\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}} \cdot e^{(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}) t} \\
&= C e^{-(\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi})t} + \dfrac{\alpha_{\varphi}}{\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}}
\end{align*}
\]
還可以看出一些性質
\[\varphi(0) = C + \dfrac{\alpha_{\varphi}}{\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}}
\]
\[\varphi(+ \infty) = \dfrac{\alpha_{\varphi}}{\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}}
\]
令 \(\tau_{\varphi} = \dfrac{1}{\alpha_{\varphi} + \beta_{\varphi}}\)，
\[\varphi(t) = \left( \varphi(0) - \varphi(+ \infty) \right) e^{-\frac{t}{\tau_{\varphi}}} + \varphi(+\infty)
\]
也等價於
\[\varphi(t) = \varphi(0) - \left( \varphi(0) - \varphi(+ \infty) \right) \left( 1 -e^{-\frac{t}{\tau_{\varphi}}} \right)
\]
綜上，根據 \(m\)、\(n\)、\(h\) 三種門限變數和式，我們都可以從微分方程得到原函式的表示式，這裡給出各個門限變數的微分方程
\[\dfrac{\text{d}n}{\text{d}t} = \alpha_n (V_{\text{m}}) \left(1 - n(t)\right) - \beta_{n}(V_{\text{m}})n(t)
\]
\[\dfrac{\text{d}m}{\text{d}t} = \alpha_m (V_{\text{m}}) \left(1 - m(t)\right) - \beta_{m}(V_{\text{m}})m(t)
\]
\[\dfrac{\text{d}h}{\text{d}t} = \alpha_h (V_{\text{m}}) \left(1 - h(t)\right) - \beta_{h}(V_{\text{m}})h(t)
\]
具體到 \(\alpha_{\varphi}\) 和 \(\beta_{\varphi}\) 的計算，它們是由實驗資料擬合的，因此不同的細胞型別也具有不同的 \(\alpha_{\varphi}\) 和 \(\beta_{\varphi}\) 。
總結
Hodgkin-Huxley Model 中細胞膜電流的計算公式為
\[\begin{align*}
I_{\text{m}} \left( V_{\text{m}}, t \right) &= \bar{g}_{\text{Na+}} \cdot m^3 \left( V_{\text{m}}, t \right) \cdot h \left( V_{\text{m}}, t \right) \cdot \left( V_{\text{m}} - E_{\text{Na+}} \right) \\
&+ \bar{g}_{\text{K+}} \cdot n^4 \left( V_{\text{m}}, t \right) \cdot \left( V_{\text{m}} - E_{\text{K+}} \right) \\
&+ g_{\text{Leak}} \left( V_{\text{m}} - E_{\text{K+}} \right) \\
&+ C_{\text{m}} \dfrac{\text{d} V_{\text{m}}}{\text{d} t}
\end{align*}
\]