二叉樹的性質

性質1

\(n\) 二叉樹的第 \(i\) 層上最多有 \(2^{i-1}\) 個節點。(\(i \ge 1\))
提問：第 \(i\) 層上至少有 \(1\) 個節點。

性質2

深度為 \(h\) 的二叉樹最多有 \(2^h-1\) 個節點。(\(h \ge 1\))
提問：一顆深度為 \(k\) 且有 \(2^k-1\) 個節點的二叉樹稱為滿二叉樹。
提問：深度為 \(k\) 時至少有 \(k\) 個節點（形成一條鏈）。

性質3

對於任何一顆二叉樹，如果其葉子節點數為 \(n_0\)，度為 \(2\) 的節點數為 \(n_2\)，則一定滿足：\(n_0 = n_2+1\)。

證明：
\(邊數=點數-1\)
\(邊數=度為二的節點（對應兩條邊 縮寫為 n_1）* 2 + 度為一的節點個數（對應一條邊 縮寫為 n_2） * 1\)
\(n = n_2*2+n_1*1+1 = n_0+n_1n+n_2\)（\(n\) 表示點一共的數量）
進行移項）
得出：\(n=n_2+1=n_0\)
一顆完全二叉樹有 \(5000\) 個節點，可以計算出其葉子節點的數量是 \(2500\)。
RT，\(n_1=1\)（5000是奇數，於是有一個度為 \(1\) 的節點。

\[n_0+n_1+n_2=n_0+1+n_2=n_0+1+n_0-1\\ =2n_0 = 5000 2n_0=2500 \]

性質4

具有 \(n\) 個節點的完全二叉樹的深度為 $\lfloor \log_2 n \rfloor +1 $ 。
證明：

\[2^{k-1}-1 \le n \le 2^k-1\\ （比上一層多，當前這層少）\\ 2^{k-1} \le n < 2^k\\ k-1 \le \log_2 n < k\\ 所以：\lfloor \log_2 n \rfloor +1 \]

性質5

對於一顆有 \(n\) 個節點的完全二叉樹，對任意一個節點 \(i\) ,如果 \(i=1\),則該節點為根，沒有父節點，如果 \(i>1\)，其父節點編號為 \(\lfloor i/2 \rfloor\)。
如果 \(2i>n\)，則該節點沒有子節點，即節點 \(i\) 為葉子節點；否則左孩子編號為 \(2i\)。
如果 \(2i+1>n\)，則該節點沒有右孩子；否則右孩子編號為 \(2i+1\)。