資料結構筆記——二叉樹的定義和性質

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在一些電視節目中，會猜測商品價格，有的人是一點一點的數字累加，這樣的策略效率太低了。其實有一種經典的折半查詢演算法，就類似於我們今天要說的二叉樹。

二叉樹定義

二叉樹：是n（n>=0）個結點的有限集合，該集合或者為空集（稱為空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成。

如下圖就是一個二叉樹：

二叉樹特點

二叉樹的特點有：

• 每個結點最多兩個子樹，所以二叉樹中不存在度大於2的結點。注意不是隻有兩棵子樹，而是最多有。沒有子樹或者有一棵子樹都是可以的。
• 左子樹和右子樹是有順序的，次序布恩那個任意顛倒。
• 即使樹中的某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。如圖：樹1和樹2是同一棵樹，但卻是不同的二叉樹。

二叉樹具有五種基本形態：

1. 空二叉樹；
2. 只有一個根結點；
3. 根結點只有左子樹；
4. 根結點只有右子樹；
5. 根結點既有左子樹又有右子樹。

特殊二叉樹

再來介紹一些特殊的二叉樹。

1、斜樹

顧名思義，斜樹一定是斜的，但是往那邊斜還是有講究的。

所有的結點都只有左子樹的二叉樹叫左斜樹，所有結點都是隻有右子樹的二叉樹叫右斜樹。兩種統稱為斜樹。

下面兩個圖分別就是左斜樹和右斜樹：

2、滿二叉樹

蘇東坡有詩云：人有悲歡離合，月有陰晴圓缺，此事古難全。意思就是完美是理想，不完美才是人生。

我們通常看到的例子全是左高右低、參差不齊的二叉樹，是否有完美的二叉樹呢。

在一棵二叉樹中，如果所有分支結點都存在左子樹和右子樹，並且所有的葉子結點都在同一層上，這樣的二叉樹叫做滿二叉樹。如圖

單單是每個結點都有左右子樹，不能算是滿二叉樹，還必須要所有的葉子結點都處在同一層，這樣就做到了二叉樹的平衡。因此滿二叉樹的特點有：

1. 葉子只能出現在最下面一層，出現在其他層就不能達到平衡；
2. 非葉子結點的度一定是2；
3. 同樣深度的二叉樹中，滿二叉樹的結點個數最多，葉子樹最多。

3、完全二叉樹

**對一棵具有n個結點的二叉樹按層序編號，如果編號為i（1<=i<=n）的結點與同樣深度的滿二叉樹中編號為i的結點在二叉樹中位置完全相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。**如圖：

首先要從字面上區分，“完全”和“滿”的差異，滿二叉樹一定是完全二叉樹，完全二叉樹不一定是滿的。

注意完全二叉樹中的編號與滿二叉樹中的相同，而且編號全部連續，有斷開的就不是完全二叉樹，如下圖中的三棵樹都不是完全二叉樹。

完全二叉樹的特點：

1. 葉子結點只能出現在最下面兩層；
2. 最下層的葉子一定集中在左部連續位置；
3. 倒數二層，若有葉子結點，一定都在右部連續位置；
4. 如果結點的度為1，則該結點只有左孩子，即不存在只有右子樹的情況；
5. 同樣結點數的二叉樹，完全二叉樹深度最小。

我們也得出一個判斷某二叉樹是否是完全二叉樹的方法，那就是看著樹的示意圖，心中默默給每個結點按照滿二叉樹的結構逐層順序編號，如果編號出現空擋，就說明不是完全二叉樹，否則就是。

二叉樹的性質

二叉樹有一些需要理解並記住的特性，便於更好地使用它。

二叉樹性質1

在二叉樹的第i層上至多有2^i-1個結點（i>=1）。

上圖中： 第1層： 1個： 2^1-1=2⁰=1 第2層： 1個： 2^2-1=2¹=2 第3層： 1個： 2^3-1=2²=4 第4層： 8個： 2^4-1=2³=8

通過資料歸納法，很容易得出在二叉樹的第i層上最多有 2^i-1個結點。

二叉樹性質2

深度為k的二叉樹最多有2^k-1個結點（k>=1）。

這裡注意是2的k次冪再減1。

如果有一層，最多1=2¹-1個結點 如果有兩層，最多1+2=2²-1個結點 如果有三層，最多1+2+4=2³-1個結點 如果有四層，最多1+2+4+8=2⁴-1個結點

通過資料歸納法的論證，可以得出如果有k層，結點數最多為2^k-1。

二叉樹性質3

對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n₀，度為2的結點數為n₂，則n₀=n₂+1。

終端結點就是葉子結點，而一棵二叉樹，除了葉子結點外，剩下的就是度為1和2的結點了，設n₁是度為1的結點數。則樹T的結點總數就是n=n₀+n₁+n₂。

我們換個角度，再數一數連線線，由於根結點只有分支出去，沒有分支進入，所以分支線總數為結點總數減去1，n-1=n₁+2n₂，又因為n=n₀+n₁+n₂，得出n₀=n₂+1 。

二叉樹性質4

具有n個結點的完全二叉樹的深度為不大於log₂n的最大整數+1 。

這裡不再詳細推導。

二叉樹性質5

如果對一棵有n個結點的完全二叉樹的結點按層序編號（從第一層到最後一層，每層從左到右），對任一結點i（1<=i<=n）有：

1. 如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是結點 ⌊ i/2 ⌋ 。
2. 如果2i>n，則結點i無左孩子（結點i為葉子結點）；否則其左孩子是結點2i 。
3. 如果2i+1>n，則結點i無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1 。

下篇文章會講到二叉樹的儲存結構和遍歷二叉樹，希望大家持續關注。

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