本文從樹資料結構說到二叉堆資料結構，再使用二叉堆的有序性對無序數列排序。
1. 樹
樹是最基本的資料結構，可以用樹對映現實世界中一對多的群體關係。如公司的組織結構、網頁中標籤之間的關係、作業系統中檔案與目錄結構……都可以用樹結構描述。
樹是由結點以及結點之間的關係所構成的集合。關於樹結構的更多概念不是本文的主要內容，本文只關心樹資料結構中的幾個特殊變種：
二叉樹
如果樹中的任意結點（除葉子結點外）最多只有兩個子結點，這樣的樹稱為二叉樹。
滿二叉樹
如果 二叉樹中任意結點（除葉子結點外）都有 2 個子結點，則稱為滿二叉樹。
滿二叉樹的特性：
根據滿二叉樹的定義可知，滿二叉樹從上向下，每一層上的結點數以 2 倍的增量遞增。也可以說，滿二叉樹是一個首項為 1 ，公比為 2 的等比數列。所以：
-
一個層數為
k的滿二叉樹總結點數為：2k-1 。滿二叉樹的總結點數一定是奇數！
-
根據等比公式可知第
i層上的結點數為：2i-1，因此，一個層數為k的滿二叉樹的葉子結點個數為: 2k-1。
什麼是完全二叉樹？
完全二叉樹是滿二叉樹的一個特例。
通俗理解： 在滿二叉樹基礎上，從右向左刪除幾個葉子節點後，此時滿二叉樹就變成了完全二叉樹。如下圖，在上圖滿二叉樹基礎上從右向左刪除 2 個葉結點後的結構就是完全二叉樹。
完全二叉樹的專業概念：
一棵深度為 k 的有 n 個結點的二叉樹，對樹中的結點按從上至下、從左到右的順序進行編號，如果編號為 i（1<=i<=n） 的結點與滿二叉樹中編號為 i 的結點在二叉樹中的位置相同，則這棵二叉樹稱為完全二叉樹。
專業概念有點像繞口令。
顯然，完全二叉樹的葉子結點只能出現在最下層或次下層，且最下層的葉子結點集中在樹的左部。
注意：滿二叉樹肯定是完全二叉樹，而完全二叉樹不一定是滿二叉樹。
2. 二叉堆
二叉堆是有序的 完全二叉樹，在完全二叉樹的基礎上，二叉堆 提供了有序性特徵：
-
二叉堆的根結點上的值是整個堆中的最小值或最大值。當根結點上的值是整個堆結構中的最小值時，此堆稱為最小堆。
如果根結點上的值是整個堆結構中的最大值時，則稱堆為最大堆。
-
最小堆中，任意節點的值大於父結點的值，反之，最大堆中，任意節點的值小於父結點的值。
綜合所述，二叉堆的父結點與子結點之間滿足下面的關係：
-
如果知道了一個結點的位置
i，則其左子結點在2*i處，右子結點在2*i+1處。前提是結點要有子結點。
-
如果知道了一個結點的位置
i，則其父結點在i除2處。根結點沒有父結點。
如上圖所示：
值為 5 的結點在 2 處，則其左結點 12 的位置應該在 2*2=4 處，而實際情況也是在 4 位置。其右子結點 13 的位置應該在 2*2+1=5 的位置，實際位置也是在 5 位置。
值為 19 的結點現在 7 位置，其父結點的根據公式 7 除 2 等於 3(取整)，應該在 3 處，而實際情況也是在 3 處（位置在 3、 值為 8 的結點是其父結點）。
2.1 二叉堆的抽象資料結構
當談論某種資料結構的抽象資料結構時，最基本的 API 無非就是增、刪、改、查。
二叉堆的基本抽象資料結構：
Heap()：建立一個新堆。insert(data)： 向堆中新增新節點（資料）。get_root()： 返回最小（大）堆的最小（大）元素。remove_root()：刪除根節點。is_empty()：判斷堆是否為空。find_all()：查詢堆中所有資料。
二叉堆雖然是樹結構的變種，有樹的層次結構，但因結點與結點之間有很良好的數學關係，使用 Python 中的列表儲存是非常不錯的選擇。
現如有一個數列=[8,5,12,15,19,13,1]，現使用二叉堆方式儲存。先構造一個列表。
列表中的第 0 位置初始為 0，從第 2 個位置也就是索引號為 1 的地方開始儲存堆的資料。如下圖，二叉堆中的資料在列表中的儲存位置。
2.2 API 實現
設計一個 Heap 類封裝對二叉堆的操作方法，類中方法用來實現最小堆。
'''
模擬最小堆
'''
class Heap():
# 初始化方法
def __init__(self):
# 數列，第一個位置空著
self.heap_list = [0]
# 大小
self.size = 0
# 返回根結點的值
def get_root(self):
pass
'''
刪除根結點
'''
def remove_root(self):
pass
# 為根結點賦值
def set_root(self, data):
pass
# 新增新結點
def insert(self, data):
pass
# 是否為空
def is_empty(self):
pass
Heap 類中的屬性詳解：
-
heap_list：使用列表儲存二叉堆的資料，初始時，列表的第0位置初始為預設值0。為什麼要設定列表的第
0位置的預設值為0？這個
0也不是隨意指定的，有其特殊資料含義：用來描述根結點的父結點或者說根結點沒有父結點。 -
size：用來儲存二叉堆中資料的實際個數。
Heap 類中的方法介紹：
is_empty：檢查是不是空堆。
# 長度為 0 ,則為空堆
def is_empty(self):
return self.size==0
set_root：建立根結點。保證根節點始終儲存在列表索引為 1 的位置。
# 為根結點賦值
def set_root(self, data):
self.heap_list.insert(1, data)
self.size += 1
get_root：如果是最大堆，則返回二叉堆的最大值，如果是最小堆，則返回二叉堆的最小值。
# 返回根結點的值
def get_root(self):
# 檢查列表是否為空
if not self.is_empty():
return self.heap_list[1]
raise Exception("空二叉堆！")
使用列表儲存二叉堆資料時，根結點始終儲存在索引號為
1的位置。
前面是幾個基本方法，現在實現新增新結點，編碼之前，先要知道如何在二叉堆中新增新結點：
新增新結點採用上沉演算法。如下演示流程描述了上沉的實現過程。
- 把
新結點新增到已有的二叉堆的最後面。如下圖，新增值為4的新結點，儲存至索引號為7的位置。
- 查詢
新結點的父結點，並與父結點的值比較大小，如果比父結點的值小，則和父結點交換位置。如下圖，值為4的結點小於值為8的父結點，兩者交換位置。
- 交換後再查詢是否存在父結點，如果有，同樣比較大小、交換，直到到達根結點或比父結點大為止。值為
4的結點小於值為5的父結點，繼續交換。交換後，新結點已經達到了根結點位置，整個新增過程可結束。觀察後會發現，遵循此流程新增後，沒有破壞二叉堆的有序性。
insert 方法的實現：
# 新增新節點
def insert(self, data):
# 新增新節點至列表最後
self.heap_list.append(data)
self.size += 1
# 新節點當前位置
n_idx = len(self.heap_list) - 1
while True:
if n_idx // 2 == 0:
# 當前節點是根節點，根結點沒有父結點，或說父結點為 0，這也是為什麼初始化列表時設定 0 為預設值的原因
break
# 和父節點比較大小
if self.heap_list[n_idx] < self.heap_list[n_idx // 2]:
# 和父節點交換位置
self.heap_list[n_idx], self.heap_list[n_idx // 2] = self.heap_list[n_idx // 2], self.heap_list[n_idx]
else:
# 出口之二
break
# 修改新節點的當前位置
n_idx = n_idx // 2
測試向二叉堆中新增資料。
- 建立一個空堆。
heap = Heap()
- 建立值為
5的根結點。
heap.set_root(5)
- 檢查根結點是否建立成功。
val = heap.get_root()
print(val)
'''
輸出結果
5
'''
- 新增值為
12和值為13的2個新結點，檢查新增新結點後整個二叉堆的有序性是否正確。
# 新增新結點
heap.insert(12)
heap.insert(13)
# 輸入數列
print(heap.heap_list)
'''
輸出結果
[0, 5, 12，13]
'''
- 新增值為
1的新結點，並檢查二叉堆的有序性。
# 新增新結點
heap.insert(1)
print(heap.heap_list)
'''
輸出結果
[0, 1, 5, 13, 12]
'''
- 繼續新增值為
15、19、8的3個新結點，並檢查二叉堆的狀況。
heap.insert(15)
heap.insert(19)
heap.insert(8)
print(heap.heap_list)
'''
輸出結果
[0, 1, 5, 8, 12, 15, 19, 13]
'''
介紹完新增方法後，再來了解一下，如何刪除二叉堆中的結點。
二叉堆的刪除操作從根結點開始，如下圖刪除根結點後，空出來的根結點位置，需要在整個二叉堆中重新找一個結點充當新的根結點。
二叉堆中使用下沉演算法選擇新的根結點：
- 找到二叉堆中的最後一個結點，移到到根結點位置。如下圖，把二叉堆中最後那個值為
19的結點移到根結點位置。
-
最小堆中，如果
新的根結點的值比左或右子結點的值大，則和子結點交換位置。如下圖，在二叉堆中把19和5的位置進行交換。注意：總是和最小的子結點交換。
- 交換後，如果還是不滿足最小二叉堆父結點小於子結點的規則，則繼續比較、交換
新根結點直到下沉到二叉堆有序為止。如下，繼續交換12和19的值。如此反覆經過多次交換直到整個堆結構符合二叉堆的特性。
remove_root 方法的具體實現：
'''
刪除根節點
'''
def remove_root(self):
r_val = self.get_root()
self.size -= 1
if self.size == 1:
# 如果只有根節點，直接刪除
return self.heap_list.pop()
i = 1
# 二叉堆的最後結點成為新的根結點
self.heap_list[i] = self.heap_list.pop()
# 查詢是否存在比自己小的子結點
while True:
# 子結點的位置
min_pos = self.min_child(i)
if min_pos is None:
# 出口：沒有子結點或沒有比自己小的結點
break
# 交換
self.heap_list[i], self.heap_list[min_pos] = self.heap_list[min_pos], self.heap_list[i]
i = min_pos
return r_val
'''
查詢是否存在比自己小的子節點
'''
def min_child(self, i):
# 是否有子節點
child_pos = self.is_exist_child(i)
if child_pos is None:
# 沒有子結點
return None
if len(child_pos) == 1 and self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[0]]:
# 有 1 個子節點，且大於此子結點
return child_pos[0]
elif len(child_pos) == 2:
# 有 2 個子節點，找到 2 個結點中小的那個結點
if self.heap_list[child_pos[0]] < self.heap_list[child_pos[1]]:
if self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[0]]:
return child_pos[0]
else:
if self.heap_list[i] > self.heap_list[child_pos[1]]:
return child_pos[1]
'''
檢查是否存在子節點
返回具體位置
'''
def is_exist_child(self, p_idx):
# 左子節點位置
l_idx = p_idx * 2
# 右子節點位置
r_idx = p_idx * 2 + 1
if l_idx <= self.size and r_idx <= self.size:
# 存在左、右子節點
return l_idx, r_idx
elif l_idx <= self.size:
# 存在左子節點
return l_idx,
elif r_idx <= self.size:
# 存在右子節點
return r_idx,
remove_root 方法依賴 min_child和is_exist_child 方法：
-
min_child方法用查詢比父結點小的結點。 -
is_exist_child方法用來查詢是否存在子結點。
測試在二叉堆中刪除結點：
heap = Heap()
heap.set_root(5)
val = heap.get_root()
print(val)
# 新增新結點
heap.insert(12)
heap.insert(13)
# 新增新結點
heap.insert(1)
heap.insert(15)
heap.insert(19)
heap.insert(8)
# 新增結點後二叉堆現狀
print("新增結點後二叉堆現狀：", heap.heap_list)
val = heap.remove_root()
print("刪除根結點後二叉堆現狀：", heap.heap_list)
'''
輸出結果
新增節點後二叉堆現狀： [0, 1, 5, 8, 12, 15, 19, 13]
刪除根節點後二叉堆現狀： [0, 5, 12, 8, 13, 15, 19]
'''
可以看到最後二叉堆的結構和有序性都得到了完整的保持。
3. 堆排序
堆排序指藉助堆的有序性對資料進行排序。
- 需要排序的資料以堆的方式儲存
- 然後再從堆中以根結點方式取出來，無序資料就會變成有序資料 。
如有數列=[4,1,8,12,5,10,7,21,3]，現通過堆的資料結構進行排序。
heap = Heap()
nums = [4,1,8,12,5,10,7,21,3]
# 建立根節點
heap.set_root(nums[0])
# 其它資料新增到二叉堆中
for i in range(1, len(nums)):
heap.insert(nums[i])
print("堆中資料：", heap.heap_list)
# 獲取堆中的資料
nums.clear()
while heap.size > 0:
nums.append(heap.remove_root())
print("排序後資料：", nums)
'''
輸出結果
堆中資料： [0, 1, 3, 7, 4, 5, 10, 8, 21, 12]
排序後資料： [1, 3, 4, 5, 7, 8, 10, 12, 21]
'''
本例中的程式碼還有優化空間，本文試圖講清楚堆的使用，優化的地方交給有興趣者。
4. 後記
在樹結構上加上一些新特性要求，樹會產生很多新的變種，如二叉樹，限制子結點的個數，如滿二叉樹，限制葉結點的個數，如完全二叉樹就是在滿二叉樹的“滿”字上做點文章，讓這個''滿"變成"不那麼滿"。
在完全二叉樹上新增有序性，則會衍生出二叉堆資料結構。利用二叉堆的有序性，能輕鬆完成對資料的排序。
二叉堆中有 2 個核心方法，插入和刪除，這兩個方法也可以使用遞迴方式編寫。