**2_n數最高層數與對應解數的證明 **
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一、文章名詞解釋
取斐波那契數列前n個不同元素的集合為Un={an|a1=1，a2=2，ak=ak-1+ak-2，2<k pn="{…ai，…，ak-2，ak-1，…，aj…}可合成為Pn’={…ai，…，ak，…，aj…}">an-a2=an-2+an-3+…+a1，所以Tn為右初始集Qn，且易知Rn(1)=Rn-1；
現在證明，Rn(1)<rn rk-4="max（Rk-5，2Rk-7）=2Rk-7，且Rk-5<2Rk-7" rk-3="max（Rk-4，2Rk-6）=2Rk-6，且Rk-4<2Rk-6" rk-2="max（Rk-3，2Rk-5）=2Rk-5，且Rk-3<2Rk-5" rk-1="max（Rk-2，2Rk-4）=2Rk-4，且Rk-2<2Rk-4" rk="max（Rk-1，2Rk-3）=2Rk-3，且Rk-1<2Rk-3">2an-1-a2=an-1+an-3+…+a1，所以Tn為右初始集Qn。考慮Tn的補集，設Tn的補集的初始集為Wn，當Wn不包含an時，有Rn(2)=Rn-1，由(1)可知Rn≠Rn-1；當Wn包含an時，由於Tn為初始集，有an-3不屬於Tn，有an-1、an-3屬於Tn的補集，為了合成an，且為使Rn(2)最大，an-6、an-5、an-4必屬於Tn的補集，此時Tn的補集={…am，an-6、an-5、an-4、an-3、an-1}可合成為{…am，an-4、an}，此時，Rn(2)=Rn(4)。所以Rn(2)=Rn(4)。說明：由於(2)中Tn為必為右初始集而(4)中必為左初始集，說明(2)與(4)是互補的情形。
(3)如果an-3、an屬於Tn，an-2、an-1不屬於Tn，當Tn的交換集包含an時，有Rn-3種；當Tn的交換集不包含an時，有Rn-3種，所以Rn(3)=2Rn-3
(4)如果an-4、an屬於Tn，an-3、an-2、an-1不屬於Tn，當Tn的交換集包含an時，最多有Rn-4種；當Tn的交換集不包含an時，an可分解為an-1和an-2，此時變成了n-2數的第(2)種情況，與n-2數的第(4)種情況互補，最多有Rn-2(2)種，必有Rn(4)=Rn-2(2)+Rn-4=Rn-2(4)+Rn-4=Rn-2+Rn-4；

(5)如果an-5、an屬於Pn，an-4、an-3、an-2、an-1不屬於Pn，利用(4)中降數的方法有：
Rn(5)≤Rn-2(3)+Rn-5=3Rn-5
現在假設Rn(5)取到最大值，即Rn(5)=3Rn-5
現在證明，Rn(5)<rn rk-4="max（3Rk-9，2Rk-7）=2Rk-7，且3Rk-9<2Rk-7" rk-3="max（3Rk-8，2Rk-6）=2Rk-6，且3Rk-8<2Rk-6" rk-2="max（3Rk-7，2Rk-5）=2Rk-5，且3Rk-7<2Rk-5" rk-1="max（3Rk-6，2Rk-4）=2Rk-4，且3Rk-6<2Rk-4" rk="max（3Rk-5，2Rk-3）=2Rk-3，且3Rk-5<2Rk-3">12）
n為偶數的構造方法
1、(3)情形構造方法：在n-3數的左右子集加上an（或an-1和an-2）作為n數的左右子集
	解釋：已知n-3數的最高層的解為SP/SQ
n數的最高層的解為SP+an/SQ+an（即SP+an/SQ+an-1+an-2）
2、(4)情形構造方法：在n-4數的4個不同的初始集中，和最大的初始集加上an作為左初始集。
解釋：已知n-4數的最高層的解為SP1/SQ1與SP2/SQ2，SQ1與SQ2取一個較大的，由於對稱性取SQ2
n數的最高層的解為SQ2+an/SP2+2an-1（即SQ2+an/SP2+an-1+an-2+an-3）

現在證明，當n為奇數時，Rn(3)<rn rk-3="max（2Rk-6，Rk-5+Rk-7）=Rk-5+Rk-7，且2Rk-6<Rk-5+Rk-7" rk-2="max（2Rk-5，Rk-4+Rk-6）=Rk-4+Rk-6，且2Rk-5<Rk-4+Rk-6" rk-1="max（2Rk-4，Rk-3+Rk-5）=Rk-3+Rk-5，且2Rk-4<Rk-3+Rk-5" rk="max（2Rk-3，Rk-2+Rk-4）=Rk-2+Rk-4，且2Rk-3<Rk-2+Rk-4">12）

n為奇數的構造方法
(4)情形構造方法：在n-4數的4個不同的初始集中，和最大的初始集加上an作為左初始集。
解釋：已知n-4數的最高層的解為SP1/SQ1與SP2/SQ2，SQ1與SQ2取一個較大的，由於對稱性取SQ2
n數的最高層的解為SQ2+an/SP2+2an-1（即SQ2+an/SP2+an-1+an-2+an-3）

所以Rn的遞推公式為Rn=Rk-2+Rk-4，特別的n為偶數時，Rn=Rk-2+Rk-4=2Rk-3

由於在前面推導過程至少要已知Rn的前9項，所以從R3~R11我已暴力求出結果當n>11時，Rn=Rk-2+Rk-4（在3數與6數的解能為對稱解時，經驗證n>6均有Rn=Rk-2+Rk-4，這也是我建議包含對稱解的原因）
在包含對稱解的情況下，對於X6=1，X9=2，由於推導過程中，3~11數必須已知，所以X6=1，X9=2為已知；對於X12=3，12為偶數，有(3)(4)兩種構造方法，由於X9=2，經(3)構造可得出2解，(4)構造可得出1解，所以Xn=3；對於X15=1，由於15為奇數，只能經(4)構造，取不到12數的對稱解，此後將不再取到對稱解，因此當n>12時，(3)(4)均只構造出1解，所以當n>12時，Xn={1（n為奇數），2（n為偶數）}
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作者：高明秋(廣西)
釋出：萬樹軍(香港)</rn></rn></rn></k>

2_n數最高層數與對應解數的證明

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